1/15习题课（六）内容：不定积分的概念及积分方法基本要求：1．理解原函数与不定积分的概念.2．掌握不定积分的性质及不定积分与导数的关系.3．掌握不定积分的积分方法.4．会求简单的有理函数、无理函数、三角函数有理式的不定积分.内容与方法精讲：一．原函数与不定积分的概念1．原函数定义：在区间I上，若)()(xfxF（即dxxfxdF)()(），称函数)(xF是函数)(xf在区间I上的一个原函数.2．原函数存在的条件：若函数)(xf在区间I上连续.则)(xf在区间I上有原函数.3．不定积分：函数)(xf在区间I上的所有原函数CxF)(称为)(xf在区间I上的不定积分，记作CxFdxxf)()(.4．不定积分与导数的关系：（1）先积分再求导（或微分）)(])([xfdxxf，或dxxfdxxfd)(])([；（2）先求导（或微分）再积分CxFdxxF)()(，或CxFxdF)()(.5．不定积分的线性性：（1）dxxfkdxxkf)()(；（2）dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([.二．基本积分公式（略）三．不定积分的方法1．拆项积分法：利用不定积分的线性性，将一个复杂的不定积分拆成若干个基本积分公式中的积分，从而进行积分.（关键体现在拆项上，例如：通过有理化；利用三角公式；在分子上加一项，减一项等都是常用的手段）.2．凑微分法：CxFxdxfdxxxf)]([)()]([)()]([.2/15主要用来解决复合函数的积分（确切地说是复合函数与之间变量导数之积的积分）.要熟练常用的几个凑微分式子：（1）)()(1)(baxdbaxfadxbaxf)0(a；（2）)0()()(1)(1111abaxdbaxfadxbaxfx；（3）xdxfdxxxfln)(ln)(ln；（4）xxxxdeefdxefe)()(；（5）xdxfdxxxfarctan)(arctan1)(arctan2；（6）xdxfdxxxfarcsin)(arcsin1)(arcsin2；（7）xdxfxdxxfsin)(sincos)(sin；（8）dconxxfxdxxf)(cossin)(cos；（9）xdxfxdxxftan)(tansec)(tan2；（10）xdxfxdxxxfsec)(sectansec)(sec；（11）.)(ln)()()()(Cxfxfxdfdxxfxf多用于解决无理函数的积分.要掌握几个常用的固定换元：换元名称被积函数特点具体换元公式换元目的三角换元含有22xataxsin去根号化为有理函数或三角函数有理式的积分含有22axtaxtan含有taxtantaxsec根式换元根式换元含有nbaxnbaxt含有ndcxbaxndcxbaxt3/15倒代换分母幂次比分子幂次较高tx1降低分母幂次4．分部积分法：dxxvxuxvxudxxvxu)()()()()()(或)()()()()()(xduxvxvxuxdvxu主要用来解决两类不同的简单函数乘积的积分.关键是掌握好)(xu与)(xv的选取，原则是)(xv好找原函数，)(xu的导数简单，积分dxxvxu)()(积分dxxvxu)()(容易（至少不难）.要掌握以下几种常见类型的分部积分：被积函数类型条件)(xu取作)(xv取作目的幂函数×三角函数正整数次幂幂函数三角函数降低幂次幂函数×指数函数正整数次幂幂函数指数函数降低幂次幂函数×对数函数实数次幂对数函数幂函数去掉对数函数幂函数×反三角函数实数次幂反三角函数幂函数去掉反三角函数指数函数×三角函数)(xu与)(xv任取，用两次分部积分，出现“打回头”四．几类特殊函数的积分例题精讲1．若Cexdxxfx)1()(，求函数).(xf解：（本题考核导数与积分的关系.给出不定积分，求被积函数，只需对等式两边求导）4/15对等式两边同时求导，有.)1()(xxxxeexexf2．若函数)(xf满足xxf22sec)(tan，且1)0(f，求函数).(xf解：（本题也是考核导数与积分的关系.给出导数，求原函数，只需对等式两边求积分.本题要注意积分变量是x2tan，或先将式子xxf22sec)(tan改写为xxf1)(，再两边求积分）对等式两边同时求积分，有）.)(tan21tantan)tan1(tansectan)tan()(tan2222222222Cxxxdxxdxxdxfxf所以，221)(xxCxf，由1)0(f，得1C，于是.211)(2xxxf3．设函数.0,sin,0,)(xxxxxf求不定积分.)(dxxf解：（这是分段函数求不定积分问题，要注意原函数.)()(dxxfxF在分界点处应连续）当0x时，CxdxxdxxfxF2)()()(2；当0x时，1cossin)()(CxxdxdxxfxF.有)0()0()0(FFF，有11CC，得CC11.所以，.0,cos1,0,2)(2xCxxCxdxxf4．若)(xf的一个原函数为x2ln，求不定积分.)(dxxfx解：（尽管这也是考核原函数概念的题目，但是由于在被积函数中出现了一个函数与)(xf的导数)(xf乘积的形式，因此首先要进行分部积分）由)(xf的一个原函数为x2ln，即Cxdxxf2ln)(，所以xxxfln2)(.于是，.lnln2)()()(2Cxxdxxfxx...
