向量、向量的加法与减法例题解析一.本周教学内容：向量、向量的加法与减法二.重点、难点：1.向量的概念。2.向量的加法与减法的定义。3.会用加法与减法的平行四边形法则和三角形法则作出向量的和与差。【典型例题】[例1]以下命题中真命题的个数是（）（1）（2）（3）（4）向量与向量平行，则、的方向相同或相反。A.0B.1C.2D.3解：（1）假命题。因为两向量之差仍为向量，所以应。（2）假命题。因为实数与向量的积是向量，所以应有。（3）真命题。。（4）假命题。若与中有一个为，则它的方向不确定。综上，应选择B。[例2]下列命题中假命题的个数是（）（1）向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线。（2）四边形ABCD是平行四边形的充要条件是。（3）四边形ABCD中，。（4）若两非零向量，与的方向相同或相反，则的方向必与或的方向相同。A.1B.2C.3D.4解：（1）是假命题。共线向量是指平行向量，故与平行不一定A、B、C、D四点共线。（2）真命题。（3）假命题，由ABCD为四边形，则有，故。（4）假命题。当时，的方向不确定。综上，应选择C。[例3]已知正方形ABCD的边长等于1，，求作向量和向量以及。图1解：如图1，由于又由，延长AC至点E，使得CE=AC，则又如图2，图2过点B作，即，故如图3，作，即。图3而，则[例4]设P是的重心，试证明：。证明：如图设M、N、P分别是边BC、AC、AB的中点，由，则有又由M是BC中点，故，即同理可得，故又由点P是的重心则，故又由，则故[例5]试比较下列向量模的大小（1）与；（2）与。解：（1）分情况讨论①当、中至少有一个为时，=；②当、均为非零向量时，若与同向，则=若与异向，则＜若与不共线，则＜（2）①当与中至少有一个为时，则②当与均为非零向量时，根据向量加减法的平行四边形法则可知，与是以、为边的平行四边形的两条对角线的长，如图分三种情况讨论，设与的夹角为。图1图2图3若，如图1，则有若，如图2，则有若，如图3，则有[例6]设点G为四边形ABCD对角线的中点连线MN的中点，点P为该平面内任意一点，证明。证明：如图所示，设四边形ABCD的对角线AC、BD中点分别为M、N由PM为的中线，故同理可知又由G为MN中点，则有即特别地，当P与G重合时可以得到一.选择题：1.下列命题中正确的个数为（）（1）若向量与共线，与共线，则向量与共线（2）共线的单位向量都相等（3）向量与反向，，则向量与的方向相同（4）向量与不共线，则、均为非零向量A.1个B.2个C.3个D.4个2.平行四边形ABCD中，等于（）A.B.C.D.3.非零向量、不共线，且，则向量＋与－的关系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.相等4.已知的三个顶点A、B、C及平面内一点P，若，则点P与的位置关系是（）A.P在内部B.P在外部C.P在AB边上或它的延长线上D.P在AC边上且为AC的一个三等分点二.填空题5.已知AD、BE分别是的边BC、AC上的中线，且，则。6.点P为四边形ABCD内部一点，，，点E、F分别为AB、CD的中点，则。三.证明题：7.任意四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证：。8.用向量方法证明：四边形为平行四边形的充要条件是它的两条对角线互相平分。[参考答案]一.1.B（析：（1）与（4）正确）2.D3.B4.D二.5.6.三.7.证法一：如图，则同理，由，则故由E、F分别为AD、BC中点，则，故证法二：如图，在平面内取点O，作、，则有又由证法三：如图，作，则四边形ABGC为平行四边形，故对角线AG过BC中点F，则EF为的中位线，故，又由，所以8.证明：先证充分性，若四边形对角线互相平分，如图则有，故，则四边形ABCD为平行四边形再证必要性，设AC中点为O1，BD中点O2，在平行四边形ABCD中故，则，由于，因此有又由加法法则，，故故O1与O2重合
