初三数学第二十二章第四节圆周角知识精讲一.本周教学内容:第二十二章第四节圆周角二.教学目标:1.掌握圆周角的概念2.掌握圆周角定理及其推论,并运用其进行推理论证、计算三.教学重点、难点:1.重点:圆周角的概念、定理及其推论2.难点:运用定理、推论进行推理、论证及计算[知识点]1.圆周角:顶点在圆上,并且两边和圆相交的角,叫做圆周角.注:圆周角应具备两个特征①顶点在圆上②两边都和圆相交2.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.3.圆周角定理的推论:①同弧或等弧所对的圆周角相等,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.②半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.补:③圆内接四边形对角互补,一个外角等于它的内对角.如图:四边形ABCD是⊙O的内接四边形∠A+∠BCD=180°,∠B+∠D=180°∠A=∠DCE例1.选择:(1)如图1,A、B、C三点都在⊙O上,∠AOB=58°,那么∠ACB=()A.29°B.58°C.116°D.30°(2)下列说法:①顶点在圆周上的角叫圆周角.②圆周角相等,它所对的弧也相等.③等弧所对的圆周角相等.④在同圆中,相等的弦所对的圆周角相等.其中错误的有()个.A.1B.2C.3D.4(3)如图2,点A、B、C、D是同一圆上的四个点,则图中相等的圆周角共有()对.A.2B.4C.6D.8(4)如图3,已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形,若∠ABC=125°,则∠AOC=().A.125°B.55°C.110°D.105°(5)在同圆中,同弦所对的圆周角()A.相等B.互补C.相等或互补D.互余解:选(1)A(2)C(3)B(4)C(5)C例2.已知:如图AB、CD是⊙O的直径,DF、BE是弦,且DF=BE,求证:∠D=∠B.分析:∠D、∠B是圆中两个圆周角,因此考虑其所对的弧相等.证明:例3.已知:如图AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径,求证:AB·AC=AE·AD.证明:连结BE例4.已知:如图A、B、C在⊙O上,AD平分∠BAC交⊙O于D,DE∥BA交⊙O于E,求证:AC=DE.证明:连结AE、CD例5.已知AB是⊙O的弦,CD是直径,AB⊥CD,E是CD延长线上一点,BE交⊙O于F,AF交CD于G,求证:EG·OG=FG·AG.分析:欲证EG·OG=FG·AG只须证证明△EFG∽△AOG即可.证明:连结OA.小结:本周我们重点研究了圆周角概念、定理及其推论,这些内容在今后的学习中应用非常广泛,要求同学们熟练的应用,并能抓住前后知识点之间的联系,将圆周角这一概念真正融入我们的知识系统中.(答题时间:25分钟)(一)填空:1.一条弦分圆成两部分,其中一部分是另一部分的三分之一,这条弦所对的圆周角是.2.已知圆的弦AC和直径BD交于点E,∠BAC=62°则∠AEB=°.3.△ABC内接于⊙O,OD⊥BC于D点,∠BOD=42°,则∠A=°.4.已知:△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆交BC于D点,AB=4,∠B=30°,则BD=,S△ABC=.(二)解答题:1.已知:如图a,在⊙O中,AB是弦,延长AB至C,使BC=BO,连CO且延长交⊙O于D、E两点,求证:2.已知:如图b,AB是半圆的直径,E是CD⊥AB于D,交AE于F.求证:CF=AF.3.已知:如图c,△ABC内接于⊙O,AO是半径,AD⊥BC于D点.求证:∠BAO=∠DAC.4.已知:如图d,BC是半圆的直径,A为半圆上一点,求证:AB=BE-EC.5.已知:如图e,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,求证:(1)AD2=CD·DE.(2)若AC=,BC=.求BD的长.[参考答案](一)填空:1.45°或135°2.62°3.42°4.,(二)解答题:1.提示:连结OA、OB.2.提示:连结AC、CE、BC3.提示:(1)过O点作OF⊥AB于E交⊙O于F点.(2)延长AO交⊙O于E,连结BE.(3)延长AO交⊙O于E,连结EC.4.提示:沿BE截取BF=BA,连结AD、DC、DF、BD.5.(1)提示:证△ADE∽△CDE.(2)提示:连结DB.