九年级数学几何第三册第六章第3节垂直于弦的直径（二）人教四年制版【本讲教育信息】一.教学内容：垂径定理（二）二.重点、难点：垂径定理的应用【典型例题】[例1]中，，AC=4cm，BC=3cm，以C为圆心，2.6cm为半径画弧，交AB于E、F，求EF长。解：作CH⊥EF于H，则EH=HF，连CE∵∴又∵∴∴[例2]点P在⊙O内，过P的弦中最长的为5cm，最短的为4cm，求OP的长。解：易知直径AB=5，OC=，垂直AB于P的弦CD=4，CP=2，故OP=[例3]如图，AB、CD、EF为⊙O的弦、E、F分别为、的中点，G、H为交点，求证：。证明：连OE交AB于T，连OF交DC于K，由垂径定理知OE⊥AB，OF⊥DC∴，∵OE=OF∴∴[例4]⊙O半径为5，两条平行弦长分别为8和6，求两条平行弦之间的距离。解：（1）当两弦在圆心异侧时，如图，设AB∥CD，AB=6，CD=8，过O作直径EF⊥AB于M，则EF⊥CD于N，由垂径定理，∴（2）当两弦在圆心O同侧时，同理可知[例5]如图，大⊙O与小⊙O半径分别为和，AB为大圆的弦，C、D在AB上，CD为小圆的弦，（1）求证：AD=BC；（2）若AD=5，求AB长。解：（1）连OA、OD，作OH⊥CD于H，则AH=BH，DH=CH，二式相加得AD=BC（2）∵∴∴∴[例6]内接于⊙O，CM⊥AB于M，CN是直径，，求证：。证明：连OF，由垂径定理知OF⊥AB又∵CM⊥AB∴CM∥OF∴∵OC=OF∴∴[例7]如图，A、B、C在⊙O上，且四边形OABC是平行四边形，若⊙O半径为1，则OABC面积为。解：连AC、OB，则OB与AB互相平分，故OB⊥AC于M∴OA=OB=2OM∴∴∴∴[例8]两圆交于M、N，Q为O1O2的中点，P为AB中点，求证：PQ=QM。证明：作O1K、QH、O2L⊥AB于K、H、L则AK=KM，ML=LB，故∴KL=AP∴KA=PL∴KM=PL∴KP=ML∵Q是O1O2中点O1K∥O2L∥QH∴KH=HL∴PH=MH∴PQ=QM【模拟试题】一.选择题：1.下列命题中错误的有（）①弦的垂直平分线经过圆心；②平分弦的直径垂直于弦；③梯形的对角线互相平分；④圆的对称轴是直径。A.1个B.2个C.3个D.4个2.下面四个命题中正确的一个是（）A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C.弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D.在一圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心3.圆是轴对称图形，它的对称轴有（）A.一条B.两条C.三条D.无数条4.如图1，AB为⊙O的直径，过B作一弦BC，且OD⊥BC于E，若BC=8cm，，则DE的长为（）A.B.C.D.图15.如图2，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中错误的是（）A.CE=DEB.C.D.图26.过⊙O内一点M的最长弦为4cm，最短弦长为2cm，则OM的长为（）A.B.C.D.7.如图3，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于E，则图中不大于半圆的相等弧有（）A.1对B.2对C.3对D.4对图38.如图4，⊙O的半径为20，，则的面积为（）A.B.C.D.图49.A、B、C三点是⊙O上三点，AB⊥BC，O到AB、BC的距离分别为3cm和1cm，则⊙O的直径是（）A.8cmB.10cmC.cmD.cm10.如图5，矩形与圆相交，若AB=4，BC=5，DE=3，则EF的长为（）A.3.5B.6.5C.7D.8图5二.填空题11.⊙O中若直径为25cm，弦AB的弦心距为10cm，则弦AB的长为。12.若圆的半径为2cm，圆中一条弦长，则此弦中点到此弦所对劣弧的中点的距离为。13.AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，且CD=6cm，OE=4cm，则AB=。14.等腰三角形ABC内接于⊙O，AB=AC，，AB=4cm，则⊙O的直径为。15.圆内一条弦与直径相交成的角，且分直径成和的两段，则这条弦的弦心距=cm，弦长=cm。16.半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是，最长的弦长是。17.在⊙O中，AB是直径，AC是弦，点D在弦AC上，且OD=5，，CD的长为。18.⊙O的直径是50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，则AB与CD之间的距离为。19.在半径为6cm的圆中，已知两条互相垂直的弦，其中一条被另一条分成3cm和7cm两段，则圆心到两弦的距离为。20.弓形的弦长6cm，高为1cm，则弓形所在圆的半径为cm。【试题答案】一.1.C2.D3.D4.B5.D6.A7.C8.C9.D10.C二.11.15cm12.1cm13.10cm14.8cm15.1；16.6；1017.518.22cm或8cm19.2cm和20.5
