辽宁省大石桥市水源二中九年级数学《探究类问题解析（一）》例题解析一、（14分）如图所示，（1）正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A,∠EAF=90,连接BE、DF.将Rt△AEF绕点A旋转,在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；(2)将（1）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD=kAB,AF=kAE,其他条件不变.(1)中的结论有什么发生变化？结合图(2)直接写出结论；(3)将（2）中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且∠BAD=∠EAF=＞90°，其他条件不变.(2)中的结论是否发生变化？结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用表示出直线BE、DF形成的锐角.【解析】（1）证明：延长DF分别交AB、BE于点P、G.-----------------------1分在正方形ABCD和等腰直角△AEF中AD=AB,AF=AE,∠BAD=∠EAF=90°∴∠FAD=∠EAB∴△FAD≌△EAB---------------------------2分∴∠FDA=∠EBADF=BE---------------------3分 ∠DPA=∠BPG,∠ADP+∠DPA=90°∴∠EBP+∠BPG=90°∴∠DGB=90°∴DF⊥BE-----------------------------------------------5分（2）DF=kBE，DF⊥BE-----------------7分（3）改变.DF=kBE，=180°-.------------------------------------------9分证法（一）：延长DF交EB的延长线于点H AD=kAB,AF=kAE∴=k,=k∴= ∠BAD=∠EAF=∴∠FAD=∠EAB∴△FAD∽△EAB------------------------------------------11分∴==k∴DF=kBE----------------------------12分由△FAD∽△EAB得∠AFD=∠AEB ∠AFD+∠AFH=180∴∠AEB+∠AFH=180° 四边形AEHF的内角和为360°，∴∠EAF+∠EHF=180° ∠EAF=,∠EHF=∴+=180°∴=180°-----------------------------------------14分证法（二）：DF=kBE的证法与证法（一）相同延长DF分别交EB、AB的延长线于点H、G.由△FAD∽△EAB得∠ADF=∠ABE ∠ABE=∠GBH∴∠ADF=∠GBH =∠BHF=∠GBH+∠G∴=∠ADF+∠G.在△ADG中，∠BAD+∠ADF+∠G=180°,∠BAD=∴+=180°∴=180°-----------------------------------------------------------14分证法（三）：在平行四边形ABCD中AB∥CD可得到∠ABC+∠C=180° ∠EBA+∠ABC+∠CBH=180°∴∠C=∠EBA+∠CBH在BHP、CDP中，由三角形内角和等于180°可得∠C+∠CDP=∠CBH+∠BHP∴∠EBA+∠CBH+∠CDP=∠CBH+∠BHP∴∠EBA+∠CDP=∠BHP由△FAD∽△EAB得∠ADP=∠EBA∴∠ADP+∠CDP=∠BHP即∠ADC=∠BHP ∠BAD+∠ADC=180,∠BAD=,∠BHP=∴+=180∴=180----------------------------------14分（有不同解法，参照以上给分点，只要正确均得分.）二、已知：如图所示，直线与的平分线交于点，过点作一条直线与两条直线分别相交于点．（1）如图1所示，当直线与直线垂直时，猜想线段之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如图2所示，当直线与直线不垂直且交点都在的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；（3）当直线与直线不垂直且交点在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．【解析】解：（1）………2分（2）成立．………3分（方法一）：在上截取，连接．………4分即…………..6分……………………7分（方法二）：过点作直线，垂足为点，交于点．作，垂足为点．………………4分由（1）得………5分………7分（方法三）：延长，交于点．………4分ABEDCMNlABEDCMNlABCMNABCMN图1图2备用图备用图ABEDCMNl125634HFG（2）方法二图ABEDCMNl12563487（2）方法一图………5分………6分………7分（3）不成立．………8分存在．当点在射线上、点在射线的反向延长线上时（如图），10分当点在射线的反向延长线上，点在射线上时（如图），………12分三、已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．⑴如图1，当点D在边BC上时，①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立；⑵如图2，当点D在边BC的延长线上...
