向量与三角形问题李昭平平面向量的应用十分广泛。由于三角形中的有关线段可以视为向量，线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用向量表示，这就为向量与三角形的沟通、联系、交汇提供了条件。在这类问题中，往往要涉及到向量的和差运算、数乘运算、数量积运算以及向量的共线、垂直、向量的模等性质，因此解题思路较宽、方法灵活、综合性强。本文就此介绍几例，以供参考一、运用向量知识求三角形面积例1.已知△ABC，，，试求△ABC的面积。解：因，，所以，，即，则，，则△ABC的面积为：。二、运用向量知识判断三角形形状例2.在△ABC中，：＝1：2：3，试判断△ABC的形状。解：设，令＝a，，。因，而＝，所以。同理可得，。三式联立解得，显然，从而，，，故。因此最大角的余弦为，最大角C为锐角，故△ABC为不等边的锐角三角形。注：设定比例常数k是解题的关键，同时注意向量之间的夹角和三角形内角的区分。三、运用向量知识处理三角形中最值问题例3.已知△OFP的面积，且，问当c为何值时，取得最小值。解：如下图，以O为坐标原点，直线OF为x轴建立平面直角坐标系，则O（0，0），F（c，0）。设P（），则，，得。而，。，当且仅当，即时等号成立。故时，取得最小值。注：建立恰当的直角坐标系，熟练进行向量的坐标运算是解题的关键。四、运用向量知识求三角形中相关量的值或范围例4.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a、b、c成等比数列，，求的值。解：由，得又因为a、b、c成等比数列，，即可得。例5.已知△ABC的面积为S，且＝1，，求内角B的取值范围。解：，，即①又②②÷①得，即，于是。注：弄清两个非零向量的数量积中的夹角是解题的关键所在。
