人教版九年级上册垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。CD⊥AB∵CD是直径,∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE垂径定理推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。∴CD⊥AB,∵CD是直径,AE=BE⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE垂径定理的本质是满足其中任两条,必定同时满足另三条(1)一条直线过圆心(2)这条直线垂直于弦(3)这条直线平分弦(4)这条直线平分弦所对的优弧(5)这条直线平分弦所对的劣弧判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦②平分弦的直线必垂直弦③垂直于弦的直径平分这条弦④平分弦的直径垂直于这条弦⑤弦的垂直平分线是圆的直径⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦⑦在圆中,如果一条直线经过圆心且平分弦,必平分此弦所对的弧⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线,将弦所对的两条弧分别三等分练习1:在圆O中,直径CEAB⊥于D,OD=4㎝,弦AC=㎝,求圆O的半径。10DCEOAB例1:如图,圆O的弦AB=8㎝,DC=2㎝,直径CE⊥AB于D,求半径OC的长。DCEOAB反思:在⊙O中,若⊙O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中,任意知道两个量,可根据定理求出第三个量:CDBAO1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.·OABE练习解:OEABRtAOE在中222AOOEAE2222=3+4=5cmAOOEAE答:⊙O的半径为5cm.118422AEAB2.如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证四边形ADOE是正方形.D·OABCE证明:OEACODABABAC909090OEAEADODA∴四边形ADOE为矩形,又∵AC=AB1122AEACADAB,∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.3.如图,CD为圆O的直径,弦AB交CD于E,∠CEB=30°,DE=9㎝,CE=3㎝,求弦AB的长。EDOCAB4.如图,AB是⊙O的弦,∠OCA=300,OB=5cm,OC=8cm,则AB=;OABC30°854D┌F垂径定理的应用例2如图,一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.●OCDEF┗.)90(,mROFRm则设弯路的半径为,CDOE).(3006002121mCDCF得根据勾股定理,即,222OFCFOC.90300222RR.545,R得解这个方程.545m这段弯路的半径约为一弓形弦长为cm,弓形所在的圆的半径为7cm,则弓形的高为____.64巩固训练巩固训练DCBOADOABC如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P为AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是。OPABC4533cm≤OP≤5cm如图,AB为⊙O的一条直径,它把⊙O分成上、下两个半圆,从上半圆上一点C作弦CD⊥AB,∠OCD的平分线交⊙O于P,当点C在半圆上(不包括A、B两点)移动时,点P的位置会发生怎样的变化?试说明理由?EOABCDP达标检测一、填空1、已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦,并且AB把CD分成3cm和7cm的两部分,则圆心O和弦AB的距离为cm.2、已知⊙O的半径为10cm,弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.3、已知⊙O中,弦AB=8cm,圆心到AB的距离为3cm,则此圆的半径为.4、在半径为25cm的⊙O中,弦AB=40cm,则此弦和弦所对的弧的中点的距离是.5、⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=.14cm或2cm25cm10cm和40cm103cm小结小结运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问题,其中弓形是最常见的图形(如图),则弦a,弦心距d,弓形高h,半径r之间有以下关系:ABCDO2222adrd+h=r垂径定理的应用垂径定理的应用hrd2a1、两条辅助线:半径、圆心到弦的垂线段2、一个Rt△:半径、圆心到弦的垂线段、半弦·OABC3、两个定理:垂径定理、勾股定理