浅谈因式分解的方法VIP专享VIP免费

浅谈因式分解的方法晋江东石中学姚清温85592456因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式。可以看出：因式分解是整式乘法的相反方向的变形，它与整式的乘法是互为逆运算。基本方法一般有两种：提取公因式和运用公式法。下面浅谈一下因式分解的一些方法：一、提取公因式法例1．把下列多项式分解因式：（1）-4a+16a-18a；（2）x（x-2）+y（2-x）．解：（1）原式=-（4a-16a+18a）（2）原式=x（x-2）-y（x-2）=-2a（2a-8a+9）．=（x-2）（x-y）．点拨：1．公因式：系数是各项系数的最大公约数，字母的指数是取相同字母中指数最低次幂。2．有时多项式各项从表面上看没有公因式，但将其中一些项变形后，可以发现公因式，再提取公因式。一般地，当n为正偶数时，（x-y）=（y-x）；当n为正奇数时，（x-y）=-（y-x）．熟悉这类式子的变形，常常有助于我们找到相应的公因式。3．可以用四句顺口溜来总结记忆，用提公因式法分解因式的技巧。各项有“公”先提“公”，首项有负常提负；某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。二、运用公式法例2．把下面多项式分解因式：（1）25x-16y；（2）x-2xy+y．解：（1）原式=（5x）-（4y）（2）原式=（x）-2xy+（y）=（5x+4y）（5x-4y）．=（x-y）=（x+y）（x-y）．点拨：1．若多项式有两项时，则考虑用提公因式法或运用平方差公式。2．若多项式有三项时，则考虑提公因式法或十字相乘法或运用完全平方公式分解因式。3．运用公式法时，多项式必须符合平方差公式或完全平方公式的结构特征，方可使用。三、十字相乘法例3．把下列多项式分解因式：（1）x+5x+6；（2）x-7x+6；（3）x-2x-15；（4）x+2xy-24y．解：（1）原式=（x+2）（x+3）；（2）原式=（x-1）（x-6）；（3）原式=（x-5）（x+3）；（4）原式=（x-4y）（x+6y）．点拨：把x+px+q分解时，（1）若常数项q是正数时，则把q分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同；（2）若常数项q是负数时，则把q分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同；（3）对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项系数p．四、分组分解法例4．把下列多项式分解因式：（1）5ax+7ay-5bx-7by；（2）1-m-n+2mn．解：（1）原式=（5ax-5bx）+（7ay-7by）=5x（a-b）+7y（a-b）=（a-b）（5x+7y）．（2）原式=1-（m-2mn+n）=1-（m-n）=（1-m+n）（1+m-n）．点拨：1．分组方案可能有多种，但必须能够分解到底，其结果是一样的。2．分组分解法有两种方法：分组后能直接提取公因式和分组后能运用公式。五、配方法例5．把下列二次三项式分解因式：（1）a-8a+15；（2）x+2ax-3a．解：（1）原式=a-8a+16-16+15（2）原式=x+2ax+a-a-3a=（a-4）-1=（x+a）-（2a）=（a-4+1）（a-4-1）=（x+a+2a）（x+a-2a）=（a-3）（a-5）．=（x+3a）（x-a）．点拨：对于某些二次三项式ax+bx+c，除了可以用十字相乘法分解因式外，还可以用配方法来分解，其中要用到完全平方公式、平方差公式以及添项、拆项的技巧。把多项式加上适当的项（“一次项”系数一半的平方）后，再减去这个项，然后分组，其中一组能运用完全平方公式，组间能够运用平方差公式继续分解。六、拆项法例6．分解因式：（1）4x-5x+1；（2）m-7m+1．解：（1）原式=（4x-4x+1）-x（2）原式=（m+2m+1）-9m=（2x-1）-x=（m+1）-（3m）=（2x-1+x）（2x-1-x）=（m+3m+1）（m-3m+1）．=（2x-1）（x+1）（2x+1）（x-1）；点拨：第（1）题把二次项-5x拆成-4x-x，变成可以分组分解，组间又可以用平方差继续分解到底。第（2）题把二次项-7m拆成2m-9m，使原来难于分解的多项式可以用分组分解法进行分解，并且组间又继续用平方差公式分解到底。以上两例，都是在原多项式的基础上创造条件，通过拆项，将一项拆成两项，化为可以分组分解的问题。七、添项法例7．分解因式：（1）x+4；（2）x+4y．解：（1）原式=（x+4x+4）-4x=（x+2）-（2x）=（x+2x+2）（x-2x+2）；（2）原式=（x+4xy+4y）-4xy=（x+2y）-（2xy）=（x+2xy+2y）（x-2xy+2y）．点拨：第（1）题添上二次项4x和-4x这两项后，便可以采用分组分解法，组间还可以运用平方差公式继续分解。第（2）题...