有限元 第9讲 动力学问题有限单元法VIP专享VIP免费

第9章动力问题有限元法张洪伟张洪伟2动力学问题第2节质量矩阵和阻尼矩阵第1节引言第3节直接积分法第4节振型叠加法第5节解的稳定性第6节大型特征值问题的解法第7节减缩系统自由度的方法第8节小结3第1节有限元动力学方程的建立动力学问题中最经常遇到的是结构动力学问题，它有两类研究对象。一类是在运动状态下工作的机械或结构，例如，高速旋转的电机，往复运动的内燃机，以及高速运行的飞行器，如何保证它们运行的平稳性及结构的安全性是极为重要的研究课题。另一类是承受动力载荷作用的工程结构，例如建于地面的高层建筑和厂房，核电站的安全壳和热交换器，这些结构的破裂、倾覆和坍塌等破坏事故的发生，将给人民的生命财产造成巨大损失。正确分析和设计这类结构，在理论和实际上都是具有重要意义的。动力学研究的另一重要领域是波在介质中的传播问题。4三维弹性动力学的基本方程是：平衡方程几何方程物理方程边界条件初始条件0,,,tittiijijuuf（在V域内）)(21,,ijjiijuu（在V域内）klijklijD（在V域内）ijijiiTnuu（在Su域内）（在Sσ域内）),,()0,,,(),,()0,,,(,,zyxuzyxuzyxuzyxutitiii（1.1）（1.2）（1.3）（1.4）（1.5）（1.6）在动载荷作用下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移，则单元内也产生相应的虚位移和虚应变。单元内产生的虚应变能为:deqTVUdV单元除受动载荷外，还有加速度和速度引起的惯性力和阻尼力，其中ρ为材料密度，v是线性阻尼系数。外力所做的虚功为：ddVddVTTTvscVATTVVWdPdVdPdAdPdddVdddV式中，{Pv}、{Ps}、{Pc}分别为作用于单元上的动态体力、动态面力和动态集中力；V为单元面积；A为单元面积。动力学方程建立：UWeeeedNqdNqdNqBq且形函数仅为坐标x、y、z的函数，与时间无关，因此有,eedNqBq根据虚位移原理，有代入经整理，可得单元运动方程为eeeeeeemqcqkqRt由于式中eTVkBDBdV分别称为单元的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，它们就是决定单元动态性能的特性矩阵。称为单元节点动载荷列阵，它是作用在单元上的体力、面力和集中力向单元节点移置的结果。在动态分析和静力分析中，单元的刚度矩阵是相同的，外部载荷的移置原理也一样。eTVmNNdVeTVcNNdVeTTTvscVARtNPdVNPdANP8动力学有限元分析基本步骤如下：（1）连续区域的离散化（2）构造插值函数由于只对空间域进行离散，所以单元内位移u,v,w的插值分别表示为:eNau),,,(),,,(),,,(tzyxwtzyxvtzyxuu（1.7）其中9nNNNN...21),...,2,1(3*3niINNii),...,2,1()()()(...21nitwtvtuaaaaaiiiine（3）形成系统的求解方程)()()()(tQtKataCtaM（1.8）其中)()(tata和分别是系统的结点加速度向量和结点速度向量，M,C,K和Q(t)分别是系统的质量、阻尼、刚度和结点载荷向量。10（4）求解运动方程)()()(tQtKataM（1.9）如果忽略阻尼的影响，则运动方程简化为0)()(tKataM如果上式的右端项为零，则上式进一步简化为（1.10）这是系统的自有振动方程，又称为动力特性方程。（5）计算结构的应变和应力11从以上步骤可以看出，和静力分析相比，在动力分析中，由于惯性力和阻尼力出现在平衡方程中，因此引入了质量矩阵和阻尼矩阵，最后得到求解方程不是代数方程组，而是常微分方程组。其它的计算步骤和静力分析是完全相同的。关于二阶常微分方程组的解法有两类：直接积分法和振型叠加法。直接积分法是直接对运动方程积分。而振型叠加法...