(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．(2010·江西高考)(2－)8展开式中不含x4项的系数的和为()A．－1B．0C．1D．2解析：由通项公式可得展开式中含x4项为T8＋1＝Cx4＝x4，故含x4项的系数为1，令x＝1，得展开式的系数和S＝1，故展开式中不含x4项的系数的和为1－1＝0.答案：B2．(2009·陕西高考)若(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009(x∈R)，则＋＋…＋的值为()A．2B．0C．－1D．－2解析：令x＝0，则a0＝1，令x＝，则a0＋＋＋…＋＝0，∴＋＋…＋＝－1.答案：C3．(2010·重庆高考)(x＋1)4的展开式中x2的系数为()A．4B．6C．10D．20解析：注意到(x＋1)4的展开式通项是Tr＋1＝C·x4－r·1r＝C·x4－r，因此(x＋1)4的展开式中x2的系数是C＝6.答案：B4．已知(1＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1－2a2＋3a3－4a4＝()A．8B．－8C．16D．－16解析：由二项展开式的通项公式得：a1＝C×13×21＝8，a2＝C×12×22＝24，a3＝C×11×23＝32，a4＝C×10×24＝16，从而可知a1－2a2＋3a3－4a4＝－8.答案：B5．在(＋)n的展开式中，所有奇数项的系数之和为1024，则中间项系数是()A．330B．462C．682D．792解析：∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等．由题意得，2n－1＝1024，∴n＝11，∴展开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为C＝C＝462.答案：B6．二项式(1－x)4n＋1的展开式中，系数最大的项是()A．第2n＋1项B．第2n＋2项C．第2n项D．第2n＋1项和第2n＋2项解析：由二项展开式的通项公式Tk＋1＝C(－x)k＝(－1)kCxk，可知系数为(－1)kC，与二项式系数只有符号之差，故先找中间项为第2n＋1项和第2n＋2项，又由第2n＋1项系数为(－1)2nC＝C，第2n＋2项系数为(－1)2n＋1C＝－C＜0，故系数最大项为第2n＋1项．答案：A二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．(2010·四川高考)(2－)6的展开式中的第四项是________．解析：T4＝C23(－)3＝－.答案：－8．(2010·龙岩模拟)x2(1－x)6展开式中含x4项的系数为________．解析：(1－x)6的二项展开式的通项为Tn＋1＝C×(－x)6－n.当6－n＝2时，即n＝4时，T5＝C×(－x)6－4＝15x2，因此x2(1－x)6展开式中含x4项的系数为15.答案：159．(2010·西安模拟)若(x－m)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，其中a5＝56，则a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝________.解析：(x－m)8的二项展开式的通项为Tr＋1＝C(－m)8－rxr，a5是x5的系数，所以a5＝C(－m)3＝－56m3，由题意得：－56m3＝56，解得m＝－1，所以该二项式为(x＋1)8，记f(x)＝(x＋1)8，则令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28①；令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a8＝(1－1)8＝0②，①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝28，故a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝27.答案：27三、解答题(共3个小题，满分35分)10．已知在(－)n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；解：(1)通项公式为Tk＋1＝Cx(－)kx－＝C(－)kx，因为第6项为常数项，所以k＝5时，有＝0，即n＝10.(2)令＝2，得k＝(n－6)＝2，∴所求的系数为C(－)2＝.11．已知(－)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有有理项．解：依题意，前三项系数的绝对值是1，C()，C()2，且2C·＝1＋C()2，即n2－9n＋8＝0，∴n＝8(n＝1舍去)，∴展开式的第r＋1项为C()8－r(－)r＝(－)rC·x·x－＝(－1)r··x.(1)证明：若第r＋1项为常数项，当且仅当＝0，即3r＝16.∵r∈Z，∴这不可能，∴展开式中没有常数项．(2)若第r＋1项为有理项，当且仅当为整数，∵0≤r≤8，r∈Z，∴r＝0、4、8，即展开式中的有理项共有三项，它们是T1＝x4，T5＝x，T9＝x－2.12．已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，求(2x－)2n的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．解：根据二项式系数的性质，列方程求解n.系数绝对值最大问题需要列不等式组求解．由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，∴2n＝32，解得n＝5.(1)由二项式系数的性质知，(2x－)10的展开式中第6项的二项式系数最大．即T6＝C·(2x)5·(－)5＝－8064.(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大．∵Tr＋1＝C·(2x)10－r·(－)r＝(－1)rC·210－r·x10－2r，∴，得，即，解得≤r≤.∵r∈Z，∴r＝3，故系数的绝对值最大的项是第4项，T4＝－C·27·x4＝－15360x4.
