高考试卷中类比推广题的解法著名数学教育家G•波利亚说过：“类比似乎在一切发现中有作用，而且在某些发现中有它最大的作用。”波利亚的思想近年来在处于高考改革前沿的上海高考卷中得到了广泛的体现，试卷中出现了不少利用类比或推广来解决问题的创新试题。这类问题涉及知识面广、开放度高、灵活性强，本文略举几例，加以分析，希望能窥一斑而见全豹。1等差数列与等比数列类比例1.在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式：。（2000上海高考题）分析：不妨设等差数列的公差为，则而故恰好关于成负对称，所以有：。在等比数列中，相似地，，设公比为，则有，且，易见，，互为倒数，这样不难得到：。等差数列和等比数列是两类特殊的数列，在很多地方有相同或相似的性质，如：若；，在学习时把两类的定义和性质加以类比分析，就不难解决此类问题。2平面图形与空间图形类比例2.如图1，若从O作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比。如图2示，若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点P1、P2，点Q1、Q2，点R1、R2，则类似的结论为：。（2002上海春季高考题）分析：由于很多人不善于类比，思维面较窄，只能套用已知结论填写，如：、、。实际上，题目的本意是要求把二维的面积关系，转化推广到三维的体积关系：。（证明略）再如：（2003年全国高考题）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则.”通过相似性的类比可以使所学知识产生迁移，这种类比方式在发现科学奥秘方面要胜于逻辑推理的作用，通过类比得到猜想后，再进行检验是不难的。在立体几何问题中，一方面要善于把立体几何转化为平面几何来解决，另一方面也要善于把平面几何通过类比迁移到立体几何中来，就能使掌握的知识成为一个有机的整体。3两个参量到多个参量类比推广例3.若记号“*”表示求两个实数与的算术平均数的运算，即OOMNPQRN1M1M2··········N2R2Q2P2R1Q1P1图1图2，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数、、都能成立的一个等式可以是_______（2001年上海春季高考题）。分析：本题是探索性和开放性问题，问题解决需要经过一定的探索过程，并且答案不止一个。本题如果能把握住，并注意到题目的要求不仅是推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“+”，则不难探索出这样的一个等式，然后要通过验证：，这样的结论还可以“凑”出：，，等结果。事实上，我们课本中也有这种由两个参量推广到多个参量的情况，如：若均为正数，则由；……推广到：n个正数的算术平均数，不小于它们的几何平均数。4特殊情况到一般情况类比推广例4.已知两个圆：①与②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为推广命题的一个特例，推广的命题为：。（2001上海高考试题）分析：本题学生的理解会出现两个误区，一是认为命题就是文字叙述，所以很多人试图用文字语言把答案说清楚，这是比较困难的；另一个误区是没有把握住两个圆对称要求两个圆半径必须相等，任意取了两个半径，导致结果出错。实际上本题推广后，只要两圆半径相等，和圆心位置无关。故可设：两个圆方程：①，②，则由①式减去②式，可得两圆的对称轴方程。值得注意的是，在由特殊推广到一般的过程中，要谨防出错。如一个数列的通项公式是，容易验证，如果据此推广到——对于任意都成立，那就是错误的。所以在推广命题时，要抓住命题的不变特征，不可盲目下结论。5数列求和与函数的求值类比例5.设，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得的值为：（2003上海春季高考题）分析：本题在题设中给出了提示，那就是利用等差数列的求和方法。我们知道，等差数列求和用的是倒序相加法，即：又。由两式相加利用，这一性质可求得等差数列的前n项和。相似...
