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第十二讲等比数列及其前n项和VIP免费

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第十二讲等比数列及其前n项和基础梳理1.等比数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示.2.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an=a1·qn-1.3.等比中项若G2=a·b(ab≠0),那么G叫做a与b的等比中项.4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am·qn-m,(n,m∈N+).(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak·al=am·an.(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),,{a},{an·bn},仍是等比数列.(4)公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.5.等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn==.一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n项和:Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,同乘q得:qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn,两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn,∴Sn=(q≠1).两个防范(1)由an+1=qan,q≠0并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.(2)在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.三种方法等比数列的判断方法有:(1)定义法:若=q(q为非零常数)或=q(q为非零常数且n≥2且n∈N*),则{an}是等比数列.(2)中项公式法:在数列{an}中,an≠0且a=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.(3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列.注:前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列.双基自测1.在等比数列{an}中,如果公比q<1,那么等比数列{an}是.A.递增数列B.递减数列C.常数列D.无法确定数列的增减性2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q等于.3.在等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6等于.4.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则=.5.等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=________.考向一等比数列基本量的计算【例1】►设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a2=6,6a1+a3=30.求an和Sn.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量1a1,n,q,an,Sn一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.【训练1】等比数列{an}满足:a1+a6=11,a3·a4=,且公比q∈(0,1).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若该数列前n项和Sn=21,求n的值.考向二等比数列的判定或证明【例2】►已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=,n∈N*.(1)令bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列;(2)求{an}的通项公式.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.考向三等比数列的性质及应用【例3】►已知等比数列前n项的和为2,其后2n项的和为12,求再后面3n项的和.本题利用了等比数列的性质中的第4条,其和Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,若把数列{an}平均分成若干组,其积也为等比数列.【训练3】在等比数列{an}中,若a1=,a4=-4,则公比q=________;|a1|+|a2|+…+|an|=________.考向四等差与等比数列的综合性问题【例4】►成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数2列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列是等比数列.关于等差(比)数列的基本运算,其实质就是解方程或方程组,需要认真计算,灵活处理已知条件.容易出现的问题主要有两个方面:一是计算出现失误,特别是利用因式分解求解方程的根时,不注意对根的符号进行判断;二是不能灵活运用等差(比)数列的基本性质转化已知条件,导致列出的方程或方程组较为复杂,增大运算量.【试一试】(1)已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3,若数列{an}唯一,求a的值;(2)是否存在两个等比数列{an},{bn},...

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