《2.2导数的几何意义》同步练习一、选择题1．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为()A．f′(x0)＝limB．f′(x0)＝lim[f(x0＋Δx)－f(x0)]C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)D．f′(x0)＝【解析】由导数的概念易知A正确．【答案】A2．下列点中，在曲线y＝x2上，且在此点处的切线倾斜角为的是()A．(0，0)B．(2，4)C．(，)D．(，)【解析】首先计算曲线y＝x2在点x0处的导数f′(x0)＝2x0，然后令f′(x0)＝2x0＝tan＝1得x0＝，可知答案为D.【答案】D3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线2x＋y＋1＝0垂直，则f′(x0)＝()A．－2B．－C.D．2【解析】切线斜率为f′(x0)，故f′(x0)·(－2)＝－1.∴f′(x0)＝.【答案】C4．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是()【解析】启动过程速度变化缓慢；加速过程速度变化越来越快；匀速行驶速度不变；减速行驶后停车，速度越来越慢至到速度为0.而路程函数s(t)的导数即瞬时速度，故选A.【答案】A5．(2013·延安高二检测)曲线y＝x2＋2在点(1，)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A.B.C.D.【解析】首先利用定义求曲线在点(1，)处的导数y′(1)＝，得切线斜率k＝，则切线方程为y＝x＋，然后利用数形结合可求得答案为.【答案】A二、填空题6．若f(x)＝x，则f′(0)＝________.【解析】＝＝1，∴f′(0)＝1.【答案】17．曲线y＝x2在点P处的切线斜率为k，当k＝2时，点P的坐标为________．【解析】设切点P(x0，x)，又y′＝2x，∴令2x0＝2，得x0＝1，故点P的坐标为(1，1)．【答案】(1，1)8．如图2－2－4所示，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＝__________，f′(5)＝________.图2－2－4【解析】设P(5，f(5))，∵P在直线y＝－x＋8上，∴f(5)＝－5＋8＝3.由导数的几何意义知f′(5)＝－1.【答案】3－1三、解答题9．一质点的运动路程s(单位：m)是关于时间t(单位：s)的函数：s＝－2t＋3，求s′(1)，并解释它的实际意义．【解】＝＝＝－2.当t趋于1，即Δt趋于0时，趋于－2，则s′(1)＝－2m/s，导数s′(1)＝－2m/s表示该质点在t＝1时的瞬时速度是－2m/s.10．已知函数y＝f(x)＝－x2＋1，求：(1)f′(2)；(2)曲线y＝－x2＋1在点(2，－3)处的切线方程．【解】(1)＝＝＝－4－Δx，当Δx趋于0时，趋于－4，∴f′(2)＝－4.(2)由(1)可知，在点(2，－3)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝－4，则切线方程为y＋3＝－4(x－2)，即4x＋y－5＝0.11．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程．【解】f′(1)＝lim＝3，即l1的斜率为k1＝3，∴直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点P(x0，x＋x0－2)，∴f′(x0)＝lim＝lim(2x0＋Δx＋1)＝2x0＋1，则直线l2的斜率为k2＝f′(x0)＝2x0＋1.又∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即3(2x0＋1)＝－1，∴x0＝－，y0＝(－)2－－2＝－.∴切点为(－，－)，斜率k2＝－，∴直线l2的方程为y＋＝－(x＋)，∴3x＋9y＋22＝0.
