第二节平面向量基本定理及坐标表示☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件。2015，北京卷，13,5分(平面向量基本定理)2015，江苏卷，6,5分(平面向量坐标运算)2013，北京卷，13,5分(平面向量基本定理)1.以考查平面向量的坐标运算为主，平面向量基本定理的应用也是考查的热点；2.题型以选择题、填空题为主，要求相对较低，主要与平面向量的数量积结合考查。微知识小题练自|主|排|查1．平面向量基本定理(1)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。(2)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y。3．平面向量的坐标运算向量的加法、减法设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)向量的数乘设a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)向量坐标的求法设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)4．向量共线的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0。微点提醒1．能作为基底的两个向量必须是不共线的。2．向量的坐标与点的坐标不同，向量平移后，其起点和终点的坐标都变了，但由于向量的坐标均为终点坐标减去起点坐标，故平移后坐标不变。3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0。小|题|快|练一、走进教材1．(必修4P99例8改编)设P是线段P1P2上的一点，若P1(1,3)，P2(4,0)且P是P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为()A．(2,2)B．(3，－1)C．(2,2)或(3，－1)D．(2,2)或(3,1)【解析】由题意得P1P＝P1P2或P1P＝P1P2，P1P2＝(3，－3)。设P(x，y)，则P1P＝(x－1，y－3)，当P1P＝P1P2时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝2，y＝2时，即P(2,2)。当P1P＝P1P2时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝3，y＝1，即P(3,1)。故选D。【答案】D2．(必修4P108A组T7改编)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝()A．－B.C．－2D．2【解析】由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)。由ma＋nb与a－2b共线，得＝，所以＝－。故选A。【答案】A二、双基查验1．若向量AB＝(1,2)，BC＝(3,4)，则AC＝()A．(4,6)B．(－4，－6)C．(－2，－2)D．(2,2)【解析】 AC＝AB＋BC，∴AC＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)。故选A。【答案】A2．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b等于()A．(－2，－1)B．(2,1)C．(3，－1)D．(－3,1)【解析】由a∥b可得2×(－2)－1×x＝0，故x＝－4，所以a＋b＝(－2，－1)。故选A。【答案】A3．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与AB同向的单位向量是()A.B.C.D.【解析】 A(4,1)，B(7，－3)，∴AB＝(3，－4)。∴与AB同向的单位向量为＝。故选A。【答案】A4．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别是CD，AB的中点，设AB＝a，AD＝b。若MN＝ma＋nb，则＝________。【解析】 MN＝MD＋DA＋AN＝－a－b＋a＝a－b，∴m＝，n＝－1。∴＝－4。【答案】－45．在▱ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则向量BD的坐标为________。【解析】设AD＝(x，y)，因为AC＝AB＋AD，所以(1,3)＝(2,4)＋(x，y)，所以即所以AD＝(－1，－1)，所以BD＝AD－AB＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)。【答案】(－3，－5)微考点大课堂考点一平面向量基本定理及其应用…………母题发散【典例1】(1)如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1－2e2与－e1＋2e2(2)...
