（江苏专用）高考数学 专题8 立体几何与空间向量 62 向量法求解立体几何问题 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学专题8立体几何与空间向量62向量法求解立体几何问题理训练目标会用空间向量解决立体几何的证明、求空间角、求距离问题.训练题型(1)用空间向量证明平行与垂直；(2)用空间向量求空间角；(3)求长度与距离.解题策略(1)选择适当的空间坐标系；(2)求出相关点的坐标，用坐标表示直线的方向向量及平面的法向量；(3)理解并记住用向量表示的空间角和距离的求解公式；(4)探索性问题，可利用共线关系设变量，引入参数，列方程求解.1.INCLUDEPICTURE"J:\\万冉\\数学\\加练半小时WORD\\苏教\\127.TIF"\*MERGEFORMATINET如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，在侧棱CC1上求一点P，使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.3．(2015·甘肃河西五地市第一次联考)INCLUDEPICTURE"J:\\万冉\\数学\\加练半小时WORD\\苏教\\130.TIF"\*MERGEFORMATINET已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧面A1ACC1为菱形，∠A1AC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，N是CC1的中点．(1)求证：A1C⊥BN；(2)求二面角B－A1N－C的余弦值．4．(2015·上饶一模)INCLUDEPICTURE"J:\\万冉\\数学\\加练半小时WORD\\苏教\\132.TIF"\*MERGEFORMATINET如图，五面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，AB＝6，AD＝4.顶部线段EF∥平面ABCD，棱EA＝ED＝FB＝FC＝6，EF＝2，二面角F－BC－A的余弦值为.(1)在线段BC上是否存在一点N，使BC⊥平面EFN?(2)求平面EFB和平面CFB所成锐二面角的余弦值．15．(2015·长春普通高中质量检测)INCLUDEPICTURE"J:\\万冉\\数学\\加练半小时WORD\\苏教\\134.TIF"\*MERGEFORMATINET如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝AD＝2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC＝4，点M为PC中点，点E为BC边上的动点，且＝λ.(1)求证：平面ADM⊥平面PBC.(2)是否存在实数λ，使得二面角P－DE－B的余弦值为？若存在，试求出实数λ的值；若不存在，说明理由．答案解析1．证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，INCLUDEPICTURE"J:\\万冉\\数学\\加练半小时WORD\\苏教\\128.TIF"\*MERGEFORMATINET2设AC∩BD＝N，连结NE，则点N，E的坐标分别为(，，0)，(0,0,1)．所以NE＝(－，－，1)．又点A，M的坐标分别是(，，0)，(，，1)，所以AM＝(－，－，1)．所以NE＝AM，且NE与AM不共线．所以NE∥AM.又因为NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE.所以AM∥平面BDE.(2)由(1)知AM＝(－，－，1)，因为D(，0,0)，F(，，1)，所以DF＝(0，，1)．所以AM·DF＝0，所以AM⊥DF，所以AM⊥DF，同理AM⊥BF，又DF∩BF＝F，所以AM⊥平面BDF.2．解INCLUDEPICTURE"J:\\万冉\\数学\\加练半小时WORD\\苏教\\129.TIF"\*MERGEFORMATINET建立如图所示的空间直角坐标系，设CP＝m，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，所以BD＝(－1，－1,0)，BB1＝(0,0,1)，AP＝(－1,1，m)，AC＝(－1,1,0)．因为AC·BD＝(－1,1,0)·(－1，－1,0)＝0，AC·BB1＝(－1,1,0)·(0,0,1)＝0.所以AC为平面BDD1B1的一个法向量．设AP与平面BDD1B1所成的角为θ，则sinθ＝cos(－θ)＝＝.所以cosθ＝＝.又tanθ＝＝＝3，所以m＝.故当CP＝时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.3．(1)证明INCLUDEPICTURE"J:\\万冉\\数学\\加练半小时WORD\\苏教\\131.TIF"\*MERGEFORMATINET取AC的中点O，连结BO，A1O.由题意知BO⊥AC，A1O⊥AC.又因为平面A1ACC1⊥平面ABC，且平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，A1O⊂平面A1ACC1，3所以A1O⊥平面ABC.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则O(0,0,0)，B(，0,0)，A1(0,0，)，N(0，，)，C(0，1,0)，A1C＝(0,1，－)，BN＝(－，，)．因为A1C·BN＝0＋＋(－)×＝0，所以A1C⊥BN.(2)解由(1)得A1N＝(0，，－)，A1B＝(，0，－)．设平面A1BN的一个法向量为n1＝(x，y，z)，则即令x＝1，得n1＝(1，，1)．又平面A1NC的一个法向量n2＝(1,0,0)．设二面角B－A1N－C的平面角为θ，且由图知，θ为锐角，则cosθ＝＝.4．解(1)存在点N为线段BC的中点，使BC⊥平面EFN.证明： EF∥平面ABC...