选修4-5不等式选讲第2课时不等式证明的基本方法(理科专用)1.求不等式|x+1|+|x-2|>5的解集.解:不等式等价于或或解得x∈(-∞,-2)∪(3,+∞).2.求函数f(x)=3x+(x>0)的最小值.解:f(x)=3x+=++≥3=9.3.已知x、y∈R+,且+=1,求x+y的最小值.解:已知x、y∈R+,且+=1,有x+y=(x+y)·=++10≥2+10=16,当且仅当=即x=4,y=12时,取“=”.∴x+y的最小值为16.4.已知x2+y2=1,求3x+4y的最大值.解:(换元法)由x2+y2=1,可设x=cosα,y=sinα,则3x+4y=3cosα+4sinα=cos(α-φ)≤5,其中cosφ=,sinφ=,∴(3x+4y)max=5.5.求函数y=3+4的最大值.解:函数的定义域为[5,6],且y>0,y=3×+4×≤×=5,ymax=5.6.已知a、b、c为正数,且满足acos2θ+bsin2θ
y,求证:2x+≥2y+3.证明:∵x>0,y>0,x-y>0,∴2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+≥3=3,∴2x+≥2y+3.8.已知a、b都是正实数,且a+b=2,求证:+≥1.证明:(证法1)+-1==.∵a+b=2,∴+-1=.∵a、b都是正实数,∴ab≤=1,∴+-1≥0,即+≥1.(证法2)由柯西不等式,得[()2+()2]≥(a+b)2.∵a+b=2,∴上式即为×4≥4,即+≥1.(证法3)∵a、b都是正实数,∴+≥a,+≥b.两式相加,得+++≥a+b.∵a+b=2,∴+≥1.9.已知实数a、b、c满足a>b>c,且有a+b+c=1,a2+b2+c2=1.求证:10,得-0,即c2-(1-c)c+c2-c>0,得c<0,或c>(舍),∴-