双曲线及其标准方程A级基础巩固一、选择题1．方程＋＝1(θ∈R)所表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线答案：C2．设点P在双曲线－＝1上，若F1，F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于()A．22B．16C．14D．12解析：由双曲线定义知|PF2|－|PF1|＝6，又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，由两式得|PF1|＝3，|PF2|＝9，进而易得△F1PF2的周长为22.答案：A3．双曲线－＝1的焦距是()A．16B．4C．8D．2答案：C4．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是()A．－1－1C．m>3D．m<－1解析：依题意应有m＋1>0，即m>－1.答案：B5．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是()A．m－aB.(m－a)C．m2－a2D.－1解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2.①由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2.②①2－②2得4|PF1|·|PF2|＝4(m－a)，所以|PF1|·|PF2|＝m－a.答案：A二、填空题6．已知双曲线两个焦点的坐标为F1(0，－5)，F2(0，5)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6.则双曲线的标准方程为________．解析：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．因为2a＝6，2c＝10，所以a＝3，c＝5.所以b2＝52－32＝16.所以所求双曲线标准方程为－＝1.答案：－＝17．P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝________．解析：双曲线的标准方程为－＝1，故a2＝16，a＝4，2a＝8.P在左支上，|PF1|<|PF2|，所以|PF1|－|PF2|＝－2a＝－8.答案：－88．若双曲线以椭圆＋＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为________．解析：椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且a＝4，b＝3，c＝，所以焦点为(±，0)，左右顶点为(±4，0)．于是双曲线经过点(±，0)，焦点为(±4，0)，则a′＝，c′＝4，所以b′2＝9，所以双曲线的标准方程为－＝1.答案：－＝1三、解答题9．已知双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点2的纵坐标为4，求双曲线的方程．解：由题意可得，椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，且c＝3，a2＋b2＝9.由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A(，4)，B(－，4)，由点A在双曲线上知，－＝1.解方程组得所以所求双曲线的方程为－＝1.10.如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1；圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，所以|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.所以动圆圆心M的轨迹方程为－＝1(x≤－)．B级能力提升1．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为()A．－1＜k＜1B．k＞1C．k＜－1D．k＞1或k＜－1答案：A2．已知双曲线x2－y2＝1的两个焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|＋|PF2|＝________．3解析：由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4.在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(2)2＝8，所以|PF1|·|PF2|＝4.所以(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝(4＋2|PF1|·|PF2|)＋2|PF1|·|PF2|＝20.所以|PF1|＋|PF2|＝2.答案：23．已知双曲线的方程为x2－＝1，如图，点A的坐标为(－，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．解：设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2.所以|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，又B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝－1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥＋1，当点M，B在线段CD上时不等式取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为＋1.4
