一课一测一、选择题1.关于正多面体的概念，下面叙述中正确的是（）A.每个面都是正多边形的多面体B.每个面都是有相同边数的正多边形的多面体C.每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的多面体D.每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体2.下列命题中，假命题是（）①多面体的面数最少是4②正多面体只有5种③凡凸多面体都是简单多面体④一个几何体的表面经过连续变形能变为球面的就叫简单多面体A.③B.②③C.④D.③④3.设正多面体的每个面都是正n边形，以每个顶点为端点的棱有m条，顶点数是V，棱数是E，面数是F，则它们之间的关系不正确的是（）A.mF=2EB.nF=2EC.mV=2ED.V+F=E+24.正十二面体的顶点V和棱数E分别是（）A.V=30E=20B.V=12E=30C.V=30E=12D.V=20E=305.如图9－研－6，正方体的棱长为3cm，在每一个面的正中间有一个正方形孔通到对面，孔的边长为1cm，孔的各棱平行于正方体的各棱，则此时该几何体的总表面积为（）图9－研－6A.54cm2B.72cm2C.76cm2D.84cm26.图9－研－7中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD的点A作截面AB1C1D1而截得的，且B1B=D1D.已知截面AB1C1D1与底面ABCD成30°的二面角，AB=1，则这个多面体的体积为（）图9－研－7A.B.C.D.二、填空题7.一个简单多面体的各面都是三角形，它的顶点数为12，则它的面数为.8.每个面都是正三角形，每个顶点出发都有三条棱的多面体，其面数F=，顶点数V=，棱数E=.9.棱长为a的正八面体的对角线长为.10.已知一个正多面体的体积为V，它的一个侧面面积为S，则由正多面体内一点到各侧面的距离之和等于.三、解答题11.C70分子有类似于C60的球状多面体结构，它有70个顶点，每个顶点处有3条棱，各个面是五边形或六边形，试求C70分子结构中，有多少个五边形，有多少个六边形？12.一个正多面体，各个面的内角总和为3600°，求它的面数、顶点数和棱数.13.四面体ABCD的6条棱中除AD外，其他5条棱的长度均为1.（1）当AD长度变化时，求四面体全面积的最大值；（2）当此四面体全面积最大时，平面ABD与平面ACD的位置关系如何？参考答案一、1.D2.C3.A4.D5.B6.D二、7.208.4469.a10.11.解：设C70分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和y个，则三、解得x=12，y=25.∴有12个五边形，25个六边形.12.解：设正多面体共有n个面，每边是m边形，则（m－2）·180°=，∴m－2=.∵m只能为3，4，5，n只能为4，6，8，12，20，∴n=20,m=3故该正多面体是正20面体.面数F=20，顶点数V=12，棱数E=30.13.解：（1）当∠ABD=∠ACD=90°时，四面体的全面积最大，为+1.（2）设AD的中点为E，则BE⊥AD，CE⊥AD，BE=CE=，BC=1.∴∠BEC=90°.∴B－AD－C是直二面角.∴平面ABD⊥平面ACD.
