高中数学 第3讲 柯西不等式与排序不等式 第三课时 排序不等式练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

第三课时排序不等式[基础达标]1.设x1，x2，x3，x4，x5是1，2，3，4，5的任一排列，则x1＋2x2＋3x3＋4x4＋5x5的最小值是A.28B.31C.35D.36解析反序和是最小值，即最小值为1×5＋2×4＋3×3＋4×2＋5×1＝35.故选C.答案C2.已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)A.大于零B.大于或等于零C.小于零D.小于或等于零解析设a≥b≥c>0，则a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.答案B3.有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s，4s，3s，7s，每个人接完水后就离开，则他们等候的总时间最短为________s.解析由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41.答案414.已知a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥.证明不妨设a≤b≤c，则由排序不等式得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，上式两边同乘2再加a2＋b2＋c2，得3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，即a2＋b2＋c2≥＝，命题得证.5.已知a，b，x，y∈(0，＋∞)，且>，x>y，求证：>.证明∵>>0，∴b>a>0.又x>y>0，由排序不等式得bx>ay.又－＝>0，∴>.1[能力提升]1.设a，b∈R＋，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则P与Q间的大小关系是A.P＞QB.P≥QC.P＜QD.P≤Q答案B2.已知a，b，c为正数，P＝，Q＝abc，则P、Q间的大小关系是A.P＞QB.P≥QC.P＜QD.P≤Q答案B3.若0a1b2＋a2b1.1＝(a1＋a2)(b1＋b2)＝a1b1＋a2b2＋a1b2＋a2b1<2(a1b1＋a2b2)，∴a1b1＋a2b2>，故选A.答案A4.设x，y，z∈(0，＋∞)，则＋＋的最小值为A.0B.1C.4D.9解析不妨设00，∴≤≤，a2a3≤a3a1≤a1a2，由排序不等式，得＋＋≥×a2a3＋×a3a1＋×a1a2＝a3＋a1＋a2，即＋＋≥a1＋a2＋a3.11.设a，b，c∈R＋，求证：a＋b＋c≤＋＋≤＋＋.证明不妨设a≥b≥c>0，于是a2≥b2≥c2，≥≥，应用排序不等式，得a2·＋b2·＋c2·≤a2·＋b2·＋c2·，a2·＋b2·＋c2·≤a2·＋b2·＋c2·.以上两个同向不等式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组a3≥b3≥c3>0及≥≥，仿上可证第二个不等式.12.设a，b，c∈(0，＋∞)，求证：＋＋≤.证明设a≥b≥c>0.由不等式的性质，知≥≥.而≥≥，由不等式的性质，知a5≥b5≥c5.根据排序原理，知＋＋≥＋＋＝＋＋.由不等式的性质，知a2≥b2≥c2，≥≥.由排序原理，得＋＋≥＋＋＝＋＋.由不等式的传递性，知＋＋≤＋＋＝.故原不等式成立.34