第2讲综合大题部分1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，长轴的长为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过点F1的直线l与椭圆C交于E，D两点，试问：在x轴上是否存在定点M，使得直线ME，MD的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及定点M的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为椭圆C的焦距为2，长轴的长为4，所以2c＝2,2a＝4，解得c＝1，a＝2，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)设E(x1，y1)，D(x2，y2)，M(m,0)．易知F1(－1,0)，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)．联立方程，得得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.又y1y2＝k2(x1＋1)(x2＋1)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝k2(－＋1)＝，直线ME，MD的斜率kME＝，kMD＝，则kME·kMD＝·＝＝＝＝＝.要使直线ME，MD的斜率之积为定值，需3m2－12＝0，解得m＝±2.当m＝2时，kME·kMD＝＝＝－；当m＝－2时，kME·kMD＝＝＝－.当直线l的斜率不存在时，不妨设E(－1，)，D(－1，－)，此时，当m＝2时，M(2,0)，kME·kMD＝－；当m＝－2时，M(－2,0)，kME·kMD＝－.综上，在x轴上存在两个定点M，使得直线ME，MD的斜率之积为定值．当定点M的坐标为(2,0)时，直线ME，MD的斜率之积为定值－；当定点M的坐标为(－2,0)时，直线ME，MD的斜率之积为定值－.2．(2018·高考浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．解析：(1)证明：设P(x0，y0)，A(y，y1)，B(y，y2)．因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程()2＝4·即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根．所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y轴．(2)由(1)可知所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，|y1－y2|＝2.因此，△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0).因为x＋＝1(x0<0)，所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4,5]，因此，△PAB面积的取值范围是[6，]．3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，过右焦点F且垂直于x轴的弦长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y＝x＋m与椭圆C交于M，N两点，求△MFN的面积取最大值时m的值．解析：(1)由题意知解得∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)联立方程得消去y，得3x2＋4mx＋2m2－4＝0，Δ＝16m2－12(2m2－4)＝－8m2＋48>0，∴|m|<.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝－，x1x2＝，∴|MN|＝|x1－x2|＝×＝×＝.又点F(，0)到直线MN的距离d＝，∴S△FMN＝|MN|·d＝|＋m|·(|m|<)．令u(m)＝(6－m2)(m＋)2(|m|<)，则u′(m)＝－2(2m＋3)(m＋)(m－)，令u′(m)＝0，得m＝－或m＝－或m＝，当－0；当－0；当0，解得k<0或0
