椭圆的简单的几何性质（1）（时间：25分，满分55分）班级姓名得分一、选择题1．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则()A．a2＝25，b2＝16B．a2＝9，b2＝25C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25D．a2＝25，b2＝9解析：选D因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9．2．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()A.B.C.D.答案：A3．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C的方程为()A.＋y2＝1B．x2＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：因为＝，且c＝，所以a＝，b＝＝1.所以椭圆C的方程为1322yx.答案：A4．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF1⊥x轴，直线AB与y轴交于点P，其中AP＝2PB，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：如图，△ABF1∽△APO，则＝，即＝.所以a＝2c.，所以e＝＝.答案：D5．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(mb>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若AP�＝2PB�，则椭圆的离心率是()A．B．C．D．解析：选D∵AP�＝2PB�，∴|AP�|＝2|PB�|．又∵PO∥BF，∴＝＝，即＝，∴e＝＝．二、填空题7．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于，则此椭圆的标准方程是________．解析：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，则b＝1，a2＋b2＝()2，即a2＝4.所以椭圆的标准方程是＋y2＝1或＋x2＝1.答案：＋y2＝1或＋x2＝18．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________．答案：4或－9．如图，把椭圆＋＝1的长轴(线段AB)分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，分别交椭圆于P1，P2，P3，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝________．解析：由椭圆的对称性及定义，知|P1F|＋|P7F|＝2a，|P2F|＋|P6F|＝2a，|P3F|＋|P5F|＝2a，|P4F|＝a，所以|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋|P4F|＋|P5F|＋|P6F|＋|P7F|＝7a.因为a＝5，所以所求式子的值为35.答案：3510．已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为9，离心率为的椭圆的标准方程为________．解析：由题意知解得由于焦点位置不确定，方程有两种形式．答案：＋＝1或＋＝1三、解答题11．已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，一个顶点为H(2，0)．2(1)求椭圆E的标准方程；(2)对于x轴上的点P(t，0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．解：(1)由题意可得，c＝1，a＝2，所以b＝.所以所求椭圆E的标准方程为＋＝1.(2)设M(x0，y0(x0≠±2)，则＋＝1.①MP＝(t－x0，－y0)，MH＝(2－x0，－y0)，由MP⊥MH可得MP·MN＝0，即(t－x0)(2－x0)＋y＝0.②由①②消去y0，整理得t(2－x0)＝－x＋2x0－3.因为x0≠2，所以t＝x0－.因为－2＜x0＜2，.所以－2＜t＜－1.所以实数t的取值范围为(－2，－1)．12．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1(－c，0)，A(－a，0)，B(0，b)是椭圆的两个顶点．若F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率．3
