第二篇专题六第3讲圆锥曲线的综合应用[限时训练·素能提升](限时50分钟，满分48分)解答题(本题共4小题，每小题12分，共48分)1．(2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．解析(1)设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程＝4·.即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根．所以y1＋y2＝2y0.因此，PM垂直于y轴．(2)由(1)可知所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，|y1－y2|＝2.因此，△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0).因为x＋＝1(x0<0)，所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4，5]，因此，△PAB面积的取值范围是.2．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．(1)证明：k<－；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP＋FA＋FB＝0.证明：|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，并求该数列的公差．解析(1)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1.两式相减，并由＝k得＋·k＝0.由题设知＝1，＝m，于是k＝－.①由题设得00，解得k<0或0b>0)的离心率为，直线4x＋3y－5＝0与以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A为椭圆C的下顶点，M，N为椭圆C上异于A的两点，直线AM与AN的斜率之积为1.①求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标；②若O为坐标原点，求OM·ON的取值范围．解析(1)由题意可得离心率e＝＝，又直线4x＋3y－5＝0与圆x2＋y2＝b2相切，所以b＝＝1，结合a2－b2＝c2，解得a＝，所以椭圆C的标准方程为＋x2＝1.(2)①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题意知A(0，－)，又直线AM与AN的斜率之积为1，所以·＝1，即有x1x2＝y1y2＋(y1＋y2)＋3，由题意可知直线MN的斜率存在且不为0，设直线MN：y＝kx＋t(k≠0)，代入椭圆方程，消去y可得(3＋k2)x2＋2ktx＋t2－3＝0，所以x1x2＝，x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝2t－＝，y1y2＝k2x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝k2·＋kt＋t2＝，所以＝＋＋3，化简得t2＋3t＋6＝0，解得t＝－2(－舍去)，则直线MN的方程为y＝kx－2，即直线MN恒过定点，该定点的坐标为(0，－2)．②由①可得OM·ON＝x1x2＋y1y2＝＋＝＝，由(3＋k2)x2＋2ktx＋t2－3＝0，可得Δ＝4k2t2－4(t2－3)(3＋k2)＝48k2－36(3＋k2)>0，解得k2>9.令3＋k2＝m，则m>12，且k2＝m－3，所以＝＝－3，由m>12，可得－3<－3<.则OM·ON的取值范围是.
