增分强化练(三十六)1．已知函数f(x)＝ex－x
(1)求函数f(x)的极值；(2)若对任意x>0，f(x)>ax2＋1，求a的取值范围．解析：(1)令f′(x)＝ex－1＝0，x＝0
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗∴f(x)极小值＝f(0)＝1，无极大值．(2)对任意x>0，f(x)>ax2＋1即ex－x－ax2－1>0，设g(x)＝ex－x－ax2－1，g′(x)＝ex－1－ax,①当a≤0时，g′(x)单调递增，g′(0)＝0，g′(x)>0，g(x)单调递增，g(x)>g(0)＝0，成立；②当00，g′(x)单调递增，g′(0)＝0，g′(x)>0，g(x)单调递增，g(x)>g(0)＝0，成立；③当a>1时，当00，即f′(x)>0，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．∴f(x)>f(1)＝1
故当a＝1，x>1时f(x)>1
(2)∵f′(x)＝1－＝(x>0)，令h(x)＝x－2alnx(x>0)，则h′(x)＝1－＝，①当a＝0时，f(x)＝x无极大值．②当a0，h(x)在(0，＋∞)上单调递增；∴当x∈(0，x1)时，f′(x)0，f(x)单调递增，∴f(x)在x＝x1处有极小值，f(x)无极大值．③当a>0时，h(x)在(0,2a)上单调递减，h(x)在(2a，＋∞)上单调递增，∵f(x)有极大值，∴h(2a)＝2a－2aln(2a)＝2a(1－ln2a)，又h(1)＝1>0，h(e)＝e－2a0，f(x)单调递增，当x∈(x0，e)时，f′(x)
(3)证明：由(2)可知：alnx0＝，∴f(x0)＝x0－a(lnx0)2＝x0－(1
