第2课时利用向量证明空间中的垂直关系课后篇巩固提升基础巩固1.若直线l的方向向量为a=(1,-2,3),平面α的法向量为n=(-3,6,-9),则()A.l⊂αB.l∥αC.l⊥αD.l与α相交解析 直线l的方向向量为a=(1,-2,3),平面α的法向量为n=(-3,6,-9),∴a=-13n,∴a∥n,∴l⊥α.故选C.答案C2.已知平面α的法向量为a=(1,2,-2),平面β的法向量为b=(-2,-4,k),若α⊥β,则k=()A.4B.-4C.5D.-5解析 α⊥β,∴a⊥b,∴a·b=-2-8-2k=0.∴k=-5.答案D3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,则()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面解析建立分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系(图略),不妨设正方体的棱长为1,则⃗DA1=(1,0,1),⃗AC=(-1,1,0),E13,0,13,F23,13,0,⃗EF=13,13,-13,∴⃗EF·⃗DA1=0,⃗EF·⃗AC=0,∴EF⊥A1D,EF⊥AC.答案B4.在菱形ABCD中,若⃗PA是平面ABCD的法向量,则以下等式中可能不成立的是()A.⃗PA·⃗AB=0B.⃗PC·⃗BD=0C.⃗PC·⃗AB=0D.⃗PA·⃗CD=0解析 PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA.又 AC⊥BD,∴PC⊥BD.故选项B正确,选项A和D显然成立.故选C.1答案C5.已知a=(0,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)分别是平面α,β,γ的法向量,则α,β,γ三个平面中互相垂直的有对.解析 a·b=(0,1,1)·(1,1,0)=1≠0,a·c=(0,1,1)·(1,0,1)=1≠0,b·c=(1,1,0)·(1,0,1)=1≠0,∴a,b,c中任意两个都不垂直,即α,β,γ中任意两个都不垂直.答案06.已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为.解析由题意得⃗PA=(-x,1,-z),⃗AB=(-1,-1,-1),⃗AC=(2,0,1),由⃗PA⊥⃗AB,得⃗PA·⃗AB=x-1+z=0,由⃗PA⊥⃗AC,得⃗PA·⃗AC=-2x-z=0,解得{x=-1,z=2.故点P的坐标为(-1,0,2).答案(-1,0,2)7.如图所示,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于.解析以A为原点,建立如图所示坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,a,0),C(1,a,0),设Q(1,x,0),P(0,0,z),⃗PQ=(1,x,-z),⃗QD=(-1,a-x,0).由⃗PQ·⃗QD=0,得-1+x(a-x)=0,即x2-ax+1=0.当Δ=a2-4=0,即a=2时,点Q只有一个.答案28.在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是AB,BC上的动点,且AE=BF,求证:A1F⊥C1E.证明以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a).设AE=BF=x,则E(a,x,0),F(a-x,a,0).所以⃗A1F=(-x,a,-a),⃗C1E=(a,x-a,-a).2因为⃗A1F·⃗C1E=(-x,a,-a)·(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,所以⃗A1F⊥⃗C1E,即A1F⊥C1E.9.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.求证:CD⊥平面PAE.证明如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设PA=h,则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).易知⃗CD=(-4,2,0),⃗AE=(2,4,0),⃗AP=(0,0,h). ⃗CD·⃗AE=-8+8+0=0,⃗CD·⃗AP=0,∴CD⊥AE,CD⊥AP. AP∩AE=A,∴CD⊥平面PAE.10.如图所示,△ABC是一个正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD.求证:平面DEA⊥平面ECA.证明建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,不妨设CA=2,则CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(√3,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1).所以⃗EA=(√3,1,-2),⃗CE=(0,0,2),⃗ED=(0,2,-1).分别设平面ECA与平面DEA的法向量是n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),则{n1·⃗EA=0,n1·⃗CE=0,即{√3x1+y1-2z1=0,2z1=0,3解得{y1=-√3x1,z1=0,{n2·⃗EA=0,n2·⃗ED=0,即{√3x2+y2-2z2=0,2y2-z2=0,解得{x2=√3y2,z2=2y2.不妨取n1=(1,-√3,0),n2=(√3,1,2),因为n1·n2=0,所以n1⊥n2.所以平面DEA⊥平面ECA.能力提升1.已知⃗AB=(1,5,-2),⃗BC=(3,1,z),若⃗AB⊥⃗BC,⃗BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为()A.337,-157,4B.407,-157,4C.407,-2,4D.4,407,-15解析 ⃗AB⊥⃗BC,∴⃗AB·⃗BC=0,即3+5-2z=0,得z=4,又BP⊥平面ABC,∴⃗BP⊥⃗AB,⃗BP⊥⃗BC,则{(x-1)+5y+6=0,3(x-1)+y-12=0,解得{x=407,y=-157.答案B2.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=1,若点E,F分别为PB,AD中点,则直线EF与平面PBC的位置关系是.解析以D为原点,DA,...
