第七章数列、推理与证明第35课等比数列及其前n项和课时分层训练A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b＝________.【导学号：62172192】1[ a，b，c成等比数列，∴b2＝a·c＝(5＋2)(5－2)＝1.又b>0，∴b＝1.]2．(2017·苏州模拟)等比数列{an}的公比大于1，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝____________.4[由得得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝(舍去)，把q＝2代入①得a1＝1.∴a3＝q2＝4.]3．在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于____________．3[两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得＝3，即q＝3.]4．数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N＋，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值等于____________．2[由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，得λ＝2.]5．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝____________.3n－1[因为3S1,2S2，S3成等差数列，所以4S2＝3S1＋S3，即4(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3.化简，得＝3，即等比数列{an}的公比q＝3，故an＝1×3n－1＝3n－1.]6．在各项均为正数的等比数列{an}中，若am＋1·am－1＝2am(m≥2)，数列{an}的前n项积为Tn，若T2m－1＝512，则m的值为____________.【导学号：62172193】5[由等比数列的性质可知am＋1·am－1＝a＝2am(m≥2)，所以am＝2，即数列{an}为常数列，an＝2，所以T2m－1＝22m－1＝512＝29，即2m－1＝9，所以m＝5.]7．(2016·常州期末)已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋a2＝，a3＋a4＋a5＋a6＝40，则的值为________．117[ {an}是等比数列，设公比为q，则a3＋a4＝(a1＋a2)q2，a5＋a6＝(a1＋a2)q4，∴a3＋a4＋a5＋a6＝(a1＋a2)(q2＋q4)＝40，即(q2＋q4)＝40，解得q2＝9.又q>0，∴q＝3，由a1＋a2＝得a1＝，∴＝＝＝117.]8．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，则对任意的n∈N＋，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝____________.11[ {an}是等比数列，1∴an＋2＋an＋1－2an＝an(q2＋q－2)＝0，又an≠0，故q2＋q－2＝0，即q＝－2或q＝1(舍去)，∴S5＝＝＝11.]9．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝____________.14[由＝(q3)3＝3得q3＝，∴an－1anan＋1＝(a1a2a3)q3n－6＝4×n－2由4×n－2＝324，得＝4，即n＝14.]10．(2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N＋，则a1＝________，S5＝________.1121[ an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3，∴数列是公比为3的等比数列，∴＝3.又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，∴S5＋＝×34＝×34＝，∴S5＝121.]二、解答题11．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.【导学号：62172194】[解](1) S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，∴Sn＝2n－1，又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－2n－2＝2n－2.当n＝1时a1＝1，不适合上式．∴an＝(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝.∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N＋)．(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N＋)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．[解](1)证明：依题意Sn＝4an－3(n∈N＋)，n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1.因为Sn＝4an－3，则Sn－1＝4an－1－3(n≥2)，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，整理得an＝an－1.又a1＝1≠0，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列．(2)由(1)知an＝n－1，由bn＋1＝an＋bn(n∈N＋)，得bn＋1－bn＝n－1.可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)2＝2＋＝3·n－1－1(n≥2)．当n＝1时也满足，所以数列{bn}的通项公式为bn＝3·n－1－1(n∈N＋)．B组能力提升(建议用时：15分钟)1．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也...
