1.3.3函数的最大（小）值与导数[课时作业][A组基础巩固]1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)()A．等于0B．大于0C．小于0D．以上都有可能解析：由题意，知在区间[a，b]上，有m≤f(x)≤M，当M＝m时，令M＝m＝C，则必有f(x)＝C，∴f′(x)＝C′＝0.故选A.答案：A2．函数y＝的最大值为()A．e－1B．eC．e2D.解析：y′＝＝(x>0)，令y′＝0，得x＝e.∴当0
e时，y′<0，y＝为减函数．∴y＝在(0，＋∞)上的最大值为ymax＝＝.答案：A3．函数f(x)＝x＋2cosx在区间[－，0]上的最小值是()A．－B．2C.＋D.＋1解析：f′(x)＝1－2sinx， x∈[－，0]，∴sinx∈[－1,0]，∴－2sinx∈[0,2]．∴f′(x)＝1－2sinx>0在[－，0]上恒成立，∴f(x)在[－，0]上单调递增．∴f(x)min＝f(－)＝－＋2cos(－)＝－.答案：A4．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥B．m>C．m≤D．m<解析：因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3.经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－.不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.答案：A5．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为，则a等于()A．－B.C．－D.或－解析：y′＝－2x－2，令y′＝0得x＝－1.当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．当－10.由f′(x)＝0，得x＝1.又f(1)＝1，f()＝＋1，f(e)＝e－1， f()－f(e)＝2＋－e<2＋－e<0，∴f()0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：f(x)≥2即a≥2x2－2x2lnx.令g(x)＝2x2－2x2lnx，x>0，则g′(x)＝2x(1－2lnx)．由g′(x)＝0得x＝e，且00；当x>e时g′(x)<0，∴x＝e时g(x)取最大值g(e)＝e，∴a≥e.答案：[e，＋∞)9．已知f(x)＝ax3＋bx2－2x＋c在x＝－2时有极大值6，在x＝1时有极小值，求a，b，c的值；并求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．解析：f′(x)＝3ax2＋2bx－2，由条件知解得a＝，b＝，c＝.f(x)＝x3＋x2－2x＋，f′(x)＝x2＋x－2，x－3(－3，－2)－2(－2,1)1(1,3)3f′(x)＋0－0＋f(x)6由上表知，在区间[－3,3]上，当x＝3时，f(x)max＝，x＝1时，f(x)min＝.10．设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a>0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．解析：函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝－＋a.(1)当a＝1时，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝.当f′(x)>0时，x∈(0，)；当f′(x)<0时，x∈(，2)．所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)．(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0，2即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.[B组能力提升]1．记函数f(x)＝x3－x2＋在(0，＋∞)的值域为M，g(x)＝(x＋1)2＋a在(－∞，＋∞)的值域为N，若N⊆M，则实数a的取值范围是()A．a≥B．a≤C．a≥D．a≤解析：因为f′(x)＝x2－x，由f′(x)>0⇒x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)；由f′(x)<0⇒x∈(0,1)，所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以M＝，又N＝[a，＋∞)，所以若N⊆M，则实数a的取值范围是a≥，故选C.答案：C2．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：x－1045f(x)1221f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．下列关于函数f(x)的命题：①函数y＝f(x)是周期函数；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1
