空间角与空间距离A级基础巩固一、选择题1．三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角ABDC的大小为()A.B.C.或D.或解析：只需搞清二面角的范围是[0，π]．答案：C2．直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC＝2，则B(0，2，0)，A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以BM＝(1，－1，2)，AN＝(－1，0，2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cosθ＝＝＝.答案：C3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC1的中点，则DE与平面BCC1B1所成角的正切值为()A.B.C.D.答案：C4.如图所示，M，N是直角梯形AB-CD两腰的中点，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成的角的大小为()A．45°B．90°C．135°D．150°解析：建系如图所示，由题意知△ABE为等腰直角三角形．设CD＝1，则BE＝1，AB＝1，AE1＝.设BC＝DE＝2a.则E(0，0，0)，A(1，0，1)，N(1，a，0)，D(0，2a，0)，M，所以MN＝，AE＝(－1，0，－1)，所以MN·AE＝·(－1，0，－1)＝0.故AE⊥MN，从而MN与AE所成的角为90°.答案：B5.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是()A.B.C.D.解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)．因O为A1C1的中点，所以O，C1O＝，设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则有即取n＝(1，0，1)所以O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝.答案：B二、填空题6.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中点，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为__________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则O(1，1，0)，P(2，x，2)，B(2，2，0)，M(0，2，1)，OP＝(1，x－1，2)，BM＝(－2，0，1)．所以OP·BM＝0，所以直线BM与OP所成的角为.2答案：7．在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝2AB＝2，则B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，C1(0，1，2)．故DB＝(1，1，0)，DC1＝(0，1，2)，DC＝(0，1，0)，设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则y＝－2，x＝2，即平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2，1)，设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，DC〉|＝＝＝.答案：8．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D为AB的中点，沿中线将△ACD折起使得AB＝，则二面角ACDB大小为________．答案：120°三、解答题9．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．解：(1)建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，EF＝，PE＝，设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，3则n·EF＝0，且n·PE＝0，所以令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)，所以点D到平面PEF的距离为d＝＝＝，因此，点D到平面PEF的距离为.(2)因为AE＝，所以点A到平面PEF的距离为d＝＝＝，所以AC到平面PEF的距离为.10．如图所示，BD⊥平面ABC，AE∥BD，AB＝BC＝CA＝BD＝2AE＝2，F为CD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCD；(2)求点A到平面CDE的距离；(3)求二面角CDEA的余弦值．(1)证明：取BC的中点G，连接AG，FG，因为F，G分别为DC，BC的中点，所以FG∥BD且FG＝BD.又AE∥BD且AE＝BD，所以AE∥FG且AE＝FG，所以四边形EFGA为平行四边形，则EF∥AG.因为BD⊥平面ABC，所以BD⊥AG.因为G为BC的中点，且AC＝AB，所以AG⊥BC，所以AG⊥平面BCD，所以EF⊥平面BCD.(2)解：取AB的中点O和DE的中点H，分别以OC，OB，OH所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则C(，0，0)，D(0，1，2)，E(0，－1，1)，A(0，－1，0)，CD＝(－，1，2)，ED＝(0，2，1)．设平面CD...
