高二数学双曲线定义、标准方程、几何性质知识精讲 人教版VIP专享VIP免费

高二数学双曲线定义、标准方程、几何性质知识精讲人教版一.教学内容：双曲线定义、标准方程、几何性质［知识点］（一）双曲线的定义1.（1）图示：取一拉链，在拉开两边上各选一点，分别固定在F1、F2上，|F1F2|＝2c，即|PF1|－|PF2|＝2a，得到的图形，我们称为双曲线一支（加绝对值两支）2212.{||||||}分析：即满足PMMFMFa3.定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数c小于|F1F2|的点的轨迹叫双曲线。（1）焦点：F1、F2，焦距：|F1F2|（2）定义重点：①绝对值②小于|F1F2|若去掉①则为一支；去掉②，2a＝2c射线，2a＞2c无曲线，2a＝0是F1F2的中垂线。（二）双曲线的标准方程（1）推导：①建系；②写出集合；③坐标化；④化简（）形式或21122222222xaybyaxb图象特征：abcab00222，，［注意］1.位于标准位置，才能有标准方程；212121212.()||||||||||||对若在右支上，则，，反之MMFMFMFMFaMFMF2a3.判断双曲线焦点的位置由函数的正负决定（不比大小），若x2的函数为正，则焦点在x轴用心爱心专心上，反之则在y轴上。4.记住a、b、c的关系：椭圆：abc222双曲线：cab222一般地：第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ecaeM()1的动点的轨迹叫做双曲线，这个定点是双曲线的焦点，这条定直线叫做双曲线的准线，这个常数e叫做离心率。理解：①第二定义的隐含条件：定点在直线外，否则轨迹是除去交点的两条相交直线。②对于双曲线，相应于焦点，的准线是xaybabFc22221000()()xacFcxacyaxb22222201；相应于焦点，的准线是，同理，的准线是()yac±2③双曲线的离心率的定义是：双曲线上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。（几何意义）2.焦半径及焦半径公式定义：双曲线上一点到焦点的距离叫做双曲线上这点的焦半径。对于双曲线，，设双曲线上一点为，，则由xaybabPxy2222100()()双曲线的第二定义得：左焦半径，右焦半径为左右rexarexa||()00（4）等轴双曲线：在方程，若，这时其实轴长与虚轴均为，称为等轴双xaybaba222212曲线。对于等轴双曲线：①渐近线为±渐近线互相垂直；②离心率yx()ecaaba222∴对于双曲线：渐近线方程±渐近线互相垂直abeyx2渐近线方程斜率为±等轴双曲线1用心爱心专心渐近线：（定义：若曲线上的点到某一直线的距离为d，当点趋向于无穷远时，d能趋近于0，则这条直线称为该曲线的渐近线）双曲线的渐近线为：xaybxayb2222222210ybax±【典型例题】例1.一炮弹在某处爆炸，在F1（－5000，0）处听到爆炸声的时间比在F2（5000，0）处晚秒，已知坐标轴的单位长度为米，声速为米秒，爆炸点应在什300171340/么样的曲线上，并求爆炸点所在的曲线方程。解：由声速为米秒可知、两处与爆炸点的距离差为×340/FF12340300176000（米），因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上。因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的一支上。设爆炸点P的坐标为（x，y），则||||PFPFaa126000260003000，即，而，∴cb50005000300040002222 ，∴||||PFPFx12600000∴所求曲线方程为xyx22223000400010()小结：在处听到爆炸声比处晚秒，相当于爆炸点离的距离比FFFF121230017远6000米，这是解应用题的第一关——审题关；根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线，这是解应用题的第二关——文化关（用数学文化反映实际问题）；借助双曲线的标用心爱心专心准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关——数学关（用数学知识解决第二关提出的问题）。例2.求一条渐近线方程是3x＋4y＝0，一个焦点是（4，0）的双曲线标准方程，并求双曲线的离心率。解：双曲线的渐近线方程可写成，xy430因此双曲线的方程可写成≠xy221690() 焦点在轴上，∴x0把双曲线的方程写成xy221691 ，∴，∴c4169161625故所求双曲线的标准方程为xy2225625144251 ，即aa225625165∴双曲线的离心率eca416554小结：渐近线为±的双曲线方程...