2．2.4椭圆的简单几何性质(二)1．点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔________________；点P在椭圆内部⇔______________；点P在椭圆外部⇔______________．2．直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法：联立方程组消去y得到关于x的一元二次方程Ax2＋Bx＋C＝0，则有：位置关系方程解的个数Δ的取值相交______解Δ____0相切______解Δ____0相离____解Δ____0想一想：1.直线和椭圆的位置关系能不能用中心到直线的距离来判断呢？2．直线y＝a与椭圆＋＝1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．基础梳理1.＋＝1＋＜1＋>12．两个＞一个＝无＜想一想：1.解析：不能．因为椭圆不是圆，中心到椭圆上点的距离不完全相等．2．解析：作图可知a的取值范围是(－，)．答案：(－，)1．已知点(2，3)在椭圆＋＝1上，则下列说法正确的是()A．点(－2，3)在椭圆外B．点(3，2)在椭圆上C．点(－2，－3)在椭圆内D．点(2，－3)在椭圆上2．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．m＞1B．m≥1或0＜m＜1C．0＜m＜5且m≠1D．m≥1且m≠53．过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则|AB|等于()A．4B．2C．1D．4自测自评1．解析：根据椭圆的对称性知，点(2，－3)在椭圆上，故选D.答案：D2．D3．解析：因为＋y2＝1中a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，所以右焦点坐标F(，0)，将x＝代入＋y2＝1得，y＝±，故|AB|＝1.答案：11．已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A．1个B．1个或2个C．2个D．0个1．解析：因为直线过定点(3，－1)且＋<1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点．答案：C2．已知m、n、m＋n成等差数列，m、n、mn成等比数列，则椭圆＋＝1的离心率为()A.B.C.D.2．解析：由已知得解得所以e＝＝，故选C.答案：C3．点P为椭圆＋＝1上一点，以点P及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为()A.B.C.D.3．解析：设P(x0，y0)，因为a2＝5，b2＝4，所以c＝1，所以S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝|y0|＝1，所以y0＝±1，因为＋＝1，所以x0＝±.故选D.答案：D4．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是________．4．解析：设椭圆的另一个焦点为F2，由题意知F2P垂直于x轴，不妨设P(3，y0)，则有＋＝1，所以y0＝±，点M的纵坐标为±.答案：±5．(2014·德州高二检测)如图，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是()A．2B.C.D．25．解析：因为|OF2|＝c，所以S△POF2＝c2＝，所以c＝2.又因为P点在椭圆上，且P(1，)，所以＋＝1，所以＋＝1.又因为a2＝b2＋c2＝4＋b2，所以b2＝2.答案：A26．(2014·衡水高二检测)如果AB是椭圆＋＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为()A．e－1B．1－eC．e2－1D．1－e26．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，由点差法，＋＝1，＋＝1，作差得＝，所以kAB·kOM＝·＝＝＝e2－1.答案：C7．(2015·郑州二模)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝17．解析：因为抛物线x2＝24y的焦点为(0，6)，所以双曲线的一个焦点坐标为(0，6)，焦点在y轴上，所以排除选项A，C，因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，所以渐近线方程为y＝x＝x，所以＝，b＝a，c2＝a2＋b2＝36，解得a2＝9，b2＝27，所以双曲线的方程为－＝1.故选B.答案：B8．如图，F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为______________．8．解析：连接AF1，由圆的性质知，∠F1AF2＝90°，又因为△F2AB是等边三角形，所以∠AF2F1＝30°，所以AF1＝c，AF2＝c，所以e＝＝＝＝－1.答案：－19．设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2＋2y2＝4交于A，B两点，P是l上满足PA·PB＝－1的点．(1)求动点P的轨迹方程；(2)设点C(－2，0)，若过点C的直...
