1.3全称量词与存在量词[基础达标]命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是________．(填序号)①任意一个有理数，它的平方是有理数；②任意一个无理数，它的平方不是有理数；③存在一个有理数，它的平方是有理数；④存在一个无理数，它的平方不是有理数．解析：“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．答案：②命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．解析：全称命题的否定是存在性命题．答案：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3已知命题p：∃n∈N，2n>1000，则﹃p为________．解析：由于存在性命题的否定是全称命题，因而﹃p为∀n∈N，2n≤1000.答案：∀n∈N，2n≤1000已知命题：“∃x∈[1，2]，使x2＋2x＋a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．解析：由已知得，∃x∈[1，2]，使a≥－x2－2x成立；若记f(x)＝－x2－2x(1≤x≤2)，则a≥f(x)min；而结合二次函数f(x)＝－x2－2x(1≤x≤2)的图象得f(x)的最小值为f(2)＝－22－2×2＝－8，所以a≥－8.答案：a≥－8不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，则a的取值范围是________．解析：法一：不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，即不等式x2－2x＋a>0恒成立；结合二次函数图象得其Δ<0，即4－4a<0，所以a>1.法二：不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，也可看作a>－x2＋2x对∀x∈R都成立，所以a>(－x2＋2x)max；而二次函数f(x)＝－x2＋2x的最大值为＝1，所以a>1.答案：a>1下列命题的否定为假命题的是________．①∀x∈R，－x2＋x－1<0；②∀x∈R，|x|>x；③∀x，y∈Z，2x－5y≠12；④∃x∈R，sin2x＋sinx＋1＝0.解析：命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．答案：①下列命题中的真命题的个数是________．①∃x∈R，使得sinx＋cosx＝；②∃x∈(－∞，0)，2x<3x；③∀x∈(0，π)，sinx>cosx.解析： ∀x∈R，sinx＋cosx≤；∀x∈(－∞，0)，2x>3x；sin＝cos，所以①②③都是假命题．答案：0已知命题p：∃x∈R，使tanx＝1，命题q：∀x∈R，x2＞0.下面结论正确的是________．①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧﹃q”是假命题；③命题“﹃p∨q”是真命题；④命题“﹃p∧﹃q”是假命题．解析：容易知命题p是真命题，如x＝，则﹃p是假命题；因为当x＝0时，x2＝0，所以命题q是假命题，则﹃q是真命题．所以“p∧q”是假命题，①错误；“p∧﹃q”是真命题，②错误；“﹃p∨q”是假命题，③错误；“﹃p∧﹃q”是假命题，④正确．答案：④判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；(2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5>0.解：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，﹃p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”；(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，﹃p：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“∀x∈R，x2＋2x＋5≤0”．已知命题p：对m∈[－1，1]，不等式a2－5a－3≥恒成立；命题q：不等式x2＋ax＋2<0有解；若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围．解： m∈[－1，1]，∴∈[2，3]．1因为对m∈[－1，1]，不等式a2－5a－3≥恒成立，可得a2－5a－3≥3.∴a≥6或a≤－1.故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.又命题q：不等式x2＋ax＋2<0有解，∴Δ＝a2－8>0.∴a>2或a<－2；从而命题q为假命题时，－2≤a≤2；所以命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为－2≤a≤－1.[能力提升]已知：对∀x>0，a≤x＋恒成立，则a的取值范围为________．解析：∀x>0，x＋≥2(当且仅当x＝时等号成立)，＝2；而对∀x>0，a≤x＋恒成立，所以a≤2.答案：a≤2已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0，如果命题﹃p是真命题，那么实数a的取值范围是________．解析：因为命题﹃p是真命题，所以命题p是假命题，而当命题p是真命题时，就是不等式ax2＋2x＋3>0对一切x∈R恒成立，这时就有，解得a>，因此当命题p是假命题，即命题﹃p是真命题时，实数a的取值范围...
