3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量自我小测1．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为()A.B.C.D.2．已知ABCD是正方形，E是AB的中点，将△DAE和△CBE分别沿DE，CE折起，使AE与BE重合，A，B两点重合后记为点P，那么二面角PCDE的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°3．在三棱锥PABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为()A.B.C.D.4．AB⊥平面α于B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，则AC和平面α所成的角为()A．90°B．60°C．45°D．30°5．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为()A．150°B．45°C．60°D．120°6．AB∥α，AA′⊥α，A′是垂足，BB′是α的一条斜线段，B′为斜足，若AA′＝9，BB′＝6，则直线BB′与平面α所成角的大小为__________．7．如图所示，将边长为a的正三角形ABC沿BC边上的高线AD将△ABC折起，若折起后B，C′间距离为，则二面角BADC′的大小为__________．18．等腰直角△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成的角为__________．9．如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求SC与平面ABCD所成的角．10．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)设PD＝AD，求二面角APBC的余弦值．11．正方体ABCDA′B′C′D′的棱长等于2，E，F分别是B′D′，AC的中点．求：(1)直线AB′和平面ACD′所成角的正弦值；(2)二面角B′CD′A的余弦值．参考答案1．解析：以D为原点建立空间直角坐标系，如图，可得平面BDE的法向量n＝(1，－1,2)，而BA1＝(0，－1,1)，2∴cos〈BA1，n〉＝＝，∴〈BA1，n〉＝30°.∴直线A1B与平面BDE成60°角．答案：B2．答案：A3．解析：以O为原点，射线OA，OB，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，设AB＝a，则OP＝a，OD＝，可求得平面PBC的法向量为n＝，∴cos〈OD，n〉＝＝，设OD与平面PBC所成的角为θ，则sinθ＝，故选D.答案：D4．解析：设AC和平面α所成的角为θ，则cos60°＝cosθcos45°，故cosθ＝，所以θ＝45°.答案：C5．解析：由条件知，CA·AB＝0，AB·BD＝0，CD＝CA＋AB＋BD.∴|CD|2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·AB＋2AB·BD＋2CA·BD＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈CA，BD〉＝(2)2，∴cos〈CA，BD〉＝－，即〈CA，BD〉＝120°，∴二面角的大小为60°，故选C.3答案：C6．答案：60°7．答案：60°8．答案：45°9．解：AS是平面ABCD的法向量，设CS与AS的夹角为φ.∵CS＝CB＋BA＋AS，∴AS·CS＝AS·(CB＋BA＋AS)＝AS·AS＝1.|AS|＝1，|CS|＝＝＝，∴cosφ＝＝.∴φ＝arccos.从而CS与平面ABCD所成的角为－arccos.10．(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.(2)解：如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1)．AB＝(－1，，0)，PB＝(0，，－1)，BC＝(－1,0,0)．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则即因此可取n＝(，1，)．设平面PBC的法向量为m，则可取m＝(0，－1，－)，cos〈m，n〉＝＝－.故二面角APBC的余弦值为－.411．解：如图建立空间直角坐标系Dxyz，∵正方体的棱长等于2，E，F分别是B′D′，AC的中点，∴A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D′(0,0,2)，B′(2,2,2)，E(1,1,2)，F(1,1,0)．(1)AD′＝(－2,0,2)，AC＝(－2,2,0)，AB′＝(0,2,2)，设n＝(x′，y′，z′)是平面ACD′的一个法向量，则由取x′＝1，得平面ACD′的一个法向量n＝(1,1,1)，设直线AB′和平面ACD′所成角的大小为θ，则sinθ＝＝＝，∴直线AB′和平面ACD′所成角的正弦值是.(2)D′B′＝(2,2,0)，D′C＝(0,2，－2)，设m＝(x0，y0，z0)是平面B′CD′的一个法向量，则由得取y0＝1得平面B′CD′的一个法向量m＝(－1,1,1)，由cosθ＝＝＝，故二面角B′CD′A的余弦值是.5
