§1.3.3函数的最大(小)值与导数[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是A．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－16解析 y′＝6x2－6x－12＝6(x＋1)(x－2)，令y′＝0，则x＝2或x＝－1(舍)．又f(2)＝－15，f(0)＝5，f(3)＝－4，故选A.答案A2．函数y＝的最大值为A．e－1B．eC．e2D.解析y′＝＝，(x>0)由y′＝0得x＝e，由y′>0得0e，∴当x＝e时，ymax＝＝＝e－1.答案A3．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a，2]上的最大值为，则a等于A．－B.C．－D.或－解析由y＝－x2－2x＋3＝解得x＝－或x＝－.又函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减，∴函数在(－，－1)上为增函数，在(－1，2)上为减函数，故a∈(－1，2)，∴a＝－.答案C4．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是A．[3，＋∞)B．[－3，＋∞)1C．(－3，＋∞)D．(－∞，3]解析f′(x)＝3x2＋a，要使f(x)在[1，＋∞)上是增函数，需满足不等式3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2，x∈[1，＋∞)，∴a≥－3.答案B5．已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为解析令g(x)＝ln(1＋x)－x，则g′(x)＝－.由g′(x)＞0得：－1＜x＜0，由g′(x)＜0得：x＞0，故g(x)＜g(0)＝0，从而x＞0或－1＜x＜0时均有f(x)＜0，排除A，C，D.答案B6．当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是A．[－5，－3]B.C．[－6，－2]D．[－4，－3]解析当x＝0时，ax3－x2＋4x＋3≥0变为3≥0恒成立，即a∈R.当x∈(0，1]时，ax3≥x2－4x－3，a≥，∴a≥.设φ(x)＝，φ′(x)＝＝－＝－>0，∴φ(x)在(0，1]上递增，φ(x)max＝φ(1)＝－6.∴a≥－6.当x∈[－2，0)时，a≤，∴a≤.仍设φ(x)＝，φ′(x)＝－.当x∈[－2，－1)时，φ′(x)<0，当x∈(－1，0)时，φ′(x)>0.∴当x＝－1时，φ(x)有极小值，即为最小值．而φ(x)min＝φ(－1)＝＝－2，∴a≤－2.2综上知－6≤a≤－2.答案C二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．解析f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.由题设得－2＜＜－1，故m∈(－4，－2)．答案(－4，－2)8．(2018·江苏)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．解析f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(a∈R)，当a≤0时，f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝1，所以此时f(x)在(0，＋∞)内无零点，不满足题意．当a＞0时，由f′(x)＞0得x＞，由f′(x)＜0得0＜x＜，则f(x)在上单调递减，在上单调递增，又f(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，所以f＝－＋1＝0，得a＝3，所以f(x)＝2x3－3x2＋1，则f′(x)＝6x(x－1)，当x∈(－1，0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，则f(x)max＝f(0)＝1，f(－1)＝－4，f(1)＝0，则f(x)min＝－4，所以f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3.答案－39．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．解析因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.答案m≥三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x，x＝3是函数f(x)的极值点，求函数f(x)在区间[1，5]上的最大值和最小值．3解析由f(x)＝x3－ax2＋3x，得f′(x)＝3x2－2ax＋3，根据题意，x＝3是函数f(x)的极值点，得f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，解得a＝5.经检验，a=5满足题意,所以f(x)＝x3－5x2＋3x.所以f′(x)＝3x2－10x＋3，令f′(x)＝0，得x＝3或x＝(舍去)．当10，函数f(x)在(3，5]上是增函数．由此得到当x＝3时，函数f(x)有极小值f(3)＝－9，这也就是函数f(x)...
