第1课时空间向量与平行、垂直的关系[学生用书P141(单独成册)][A基础达标]1．若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是()A．(0，－3，1)B．(2，0，1)C．(－2，－3，1)D．(－2，3，－1)解析：选D.问题即求与n共线的一个向量．即n＝(2，－3，1)＝－(－2，3，－1)．2．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个法向量是()A．(1，1，－1)B．(1，－1，1)C．(－1，1，1)D．(－1，－1，－1)解析：选D.AB＝(－1，1，0)，AC＝(－1，0，1)．设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)．3．若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则()A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交但不垂直D．α∥β或α与β重合解析：选D.因为n＝－3m，所以m∥n，所以α∥β或α与β重合．4．已知平面α内有一点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1，1)B．C.D．解析：选B.要判断点P是否在平面α内，只需判断向量PA与平面α的法向量n是否垂直，即PA·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A，PA＝(1，0，1)，则PA·n＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，PA＝，则PA·n＝·(3，1，2)＝0，故B正确；同理可排除C，D.故选B.5．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为()A．1∶2B．1∶1C．3∶1D．2∶11解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为1，PA＝a，则B(1，0，0)，E，P(0，0，a)．设点F的坐标为(0，y，0)，则BF＝(－1，y，0)，PE＝.因为BF⊥PE，所以BF·PE＝0，解得y＝，即点F的坐标为，所以F为AD的中点，所以AF∶FD＝1∶1.6．已知平面α的一个法向量a＝(x，1，－2)，平面β的一个法向量b＝，若α⊥β，则x－y＝________．解析：因为α⊥β，所以a⊥b，所以－x＋y－1＝0，得x－y＝－1.答案：－17．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1)．给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的一个法向量．其中正确的是________(填序号)．解析：AB·AP＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB⊥AP，则AB⊥AP.AD·AP＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP⊥AD，则AP⊥AD.又AB∩AD＝A，所以AP⊥平面ABCD，故AP是平面ABCD的一个法向量．答案：①②③8．已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则BP＝________．解析：因为AB⊥BC，所以AB·BC＝0，所以3＋5－2z＝0，所以z＝4.因为BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，所以即解得故BP＝.答案：9.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点．求证：(1)平面ABE⊥平面B1BCC1；2(2)C1F∥平面ABE.证明：如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝a，AB＝b，BB1＝c，则B(0，0，0)，A(0，b，0)，C1(a，0，c)，F，E.(1)AB＝(0，－b，0)，AE＝.设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝2，则y＝0，z＝－，即n＝.又平面B1BCC1的一个法向量为n1＝(0，1，0)．因为n1·n＝2×0＋0×1＋×0＝0，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)C1F＝，且n·C1F＝0，所以C1F∥平面ABE.又因为C1F⊄平面ABE.所以C1F∥平面ABE.10.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.证明：由题意得，DA，DC，DP两两垂直，所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设DC＝PD＝1，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，D(0，0，0)，B(1，1，0)，E.所以PB＝(1，1，－1)，DE＝，EB＝，设F(x，y，z)，则PF＝(x，y，z－1)，EF＝.因为EF⊥PB，所以x＋－＝0，即x＋y－z＝0.①又因为PF∥PB，可设PF＝λPB，所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②由①②可知，x＝，y＝，z＝，所以EF＝.(1)设n1＝(x1，y1，z1)为...
