课时跟踪检测（二十四）解三角形的综合应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在相距2km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则B，C两点之间的距离为________km.解析：根据题意，可知∠ACB＝45°，根据正弦定理，可知＝，从而有BC＝＝＋1.答案：＋12．已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为________km.解析：如图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝10(km)．答案：103．(2016·常州调研)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝________.解析：由已知条件可得图形，如图所示，设CD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，∴a2＝(a)2＋(a)2－2×a×a×cos∠DAC，∴cos∠DAC＝.答案：4．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝×30＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝＝＝10(m)．答案：105.某同学骑电动车以24km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km.解析：如题图，由题意知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，∴∠ASB＝45°，由正弦定理知＝，∴BS＝＝3(km)．答案：3二保高考，全练题型做到高考达标1．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是________海里．解析：如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．答案：1012.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度为________km/h.解析：设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝＝，从而cosθ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.答案：63．如图，在山腰测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________米．解析：由题图知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－15°＝30°，∴∠ASB＝135°，在△ABS中，由正弦定理可得＝，∴AB＝1000，∴BC＝＝1000.答案：10004.(2016·南京四校联考)如图，为了测量两座山峰上两点P，Q之间的距离，选择山坡上一段长度为300米且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________米．解析：设AQ∩PB＝C，由图可知，∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°，又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴△ABQ为等腰三角形，∴AC＝CQ，BC⊥AQ.∴△PQA为等腰三角形． ∠PAQ＝60°，∴△PQA为等边三角形，故PQ＝AQ，在Rt△ACB中，AC＝AB·sin60°＝300×＝450，∴PQ＝AQ＝900.故P，Q两点间的距离为900米．答案：9005.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟．解析：由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得＝，所以AC＝＝＝10，所以海轮航行的速度为＝(海里/分钟)．答案：6．(2016·盐城模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a2为最大边，如果sin2(B＋C)
0.则cosA＝>0， 0
