第6讲填空题的解题方法「题型特点解读」填空题不像解答题能分步得分，因此要保证填写的结果正确，否则前功尽弃．解题时，要合理地分析和判断，要求推理、运算的每个步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整．合情推理、优化思路、少算多思是快速、准确解答填空题的基本要求．1巧妙计算法对于计算型的试题，多通过直接计算求解结果，这是解决填空题的基本方法，即直接从题设条件出发，利用有关性质或结论等，通过巧妙的变形，简化计算过程，直接得到结果．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法．例1(1)(2019·高三第三次全国大联考)在△ABC中，已知AB＝3，BC＝2，若cos(C－A)＝，则sinB＝________.答案解析在线段AB上取点D，使得CD＝AD，设AD＝x，则BD＝3－x，因为cos(C－A)＝，即cos∠BCD＝，所以在△BCD中，由余弦定理可得(3－x)2＝x2＋4－4x·，解得x＝，在△BCD中，由正弦定理可得＝，因为CD＝，BD＝3－x＝，sin∠BCD＝，所以sinB＝.(2)(2019·大连市模拟)已知函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)>f(x－2)的解集为________．答案(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，∴f(2x－1)>f(x－2)可转化为f(|2x－1|)>f(|x－2|)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(2x－1)>f(x－2)⇔|2x－1|>|x－2|，两边平方解得x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故f(2x－1)>f(x－2)的解集为x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活运用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速、准确地解决数学填空题的关键．1．设α为锐角，若cos＝，则sin＝________.答案解析 α为锐角，∴α＋∈，∴sin＝＝.∴sin＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.2．(2019·湖北黄冈元月调研)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8，….该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记该数列为{an}，则(a1a3－a)＋(a2a4－a)＋(a3a5－a)＋…＋(a2018a2020－a)＝________.答案0解析根据题意，a1a3－a＝1×2－12＝1，a2a4－a＝1×3－22＝－1，a3a5－a＝2×5－32＝1，…，则(a1a3－a)＋(a2a4－a)＋(a3a5－a)＋…＋(a2018a2020－a)＝1－1＋1－1＋…＋1－1＝0.方法2特殊值代入法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．例2(1)已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，且对任意的x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为________．答案(－1，＋∞)解析解法一：特殊函数法：令f(x)＝3x＋5，则由3x＋5＞2x＋4，得x＞－1.解法二：令函数g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2＞0，因此g(x)在R上为增函数．又g(－1)＝f(－1)＋2－4＝2＋2－4＝0，所以原不等式可化为g(x)＞g(－1)，由g(x)的单调性可得x＞－1.(2)如图所示，在△ABC中，AO是BC边上的中线，K为AO上一点，且AO＝2AK，经过K的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n＝________.答案4解析当过点K的直线与BC平行时，MN就是△ABC的一条中位线( AO＝2AK，∴K是AO的中点)，这时由于有AB＝mAM，AC＝nAN，因此m＝n＝2，故m＋n＝4.求值或比较大小关系等问题均可利用取特殊值代入求解，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者多种答案的填空题，不能使用该种方法求解．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例．答案c>b>a解析 当x＞0时，f(x)＝lnx，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增． f(x)是定义在R上的奇函数，2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝________.答案解析解法一：(取特殊值)a＝3，b＝4，c＝5，则co...
