第2讲综合大题部分1．(2018·高考浙江卷)如图，已知多面体ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．解析：(1)证明：如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：A(0，－，0)，B(1,0,0)，A1(0，－，4)，B1(1,0,2)，C1(0，，1)．因此AB1＝(1，，2)，A1B1＝(1，，－2)，A1C1＝(0,2，－3)．由AB1·A1B1＝0，得AB1⊥A1B1.由AB1·A1C1＝0，得AB1⊥A1C1.所以AB1⊥平面A1B1C1.(2)设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.由(1)可知AC1＝(0,2，1)，AB＝(1，，0)，BB1＝(0,0,2)．设平面ABB1的法向量为n＝(x，y，z)．由得可取n＝(－，1,0)．所以sinθ＝|cos〈AC1，n〉|＝＝.因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.2.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，M为PD的中点，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.(1)求证：AM⊥平面MCD；(2)求直线PC与平面MAC所成角的正弦值．解析：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM，1因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，又PA＝AD＝4，且M为PD的中点，所以AM⊥PD，又CD∩PD＝D，所以AM⊥平面MCD.(2)因为PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以可建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,4)，C(2,4,0)，M(0,2,2)．设平面MAC的法向量为n＝(x，y，z)，由n⊥AC，n⊥AM，可得令z＝1，则n＝(2，－1,1)．设直线PC与平面MAC所成的角为α，则sinα＝||＝，所以直线PC与平面MAC所成角的正弦值为.3．(2018·高考天津卷)如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2.(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；(2)求二面角EBCF的正弦值；(3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．解析：依题意，可以建立以D为原点，分别以DA、DC、DG的方向为x轴、y轴、z轴的正方向的空间直角坐标系(如图)，可得2D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，E(2,0,2)，F(0,1,2)，G(0,0,2)，M(0，，1)，N(1,0,2)．(1)证明：依题意得DC＝(0,2,0)，DE＝(2,0,2)．设n0＝(x，y，z)为平面CDE的法向量，则即不妨令z＝－1，可得n0＝(1,0，－1)．又MN＝(1，－，1)，可得MN·n0＝0，又因为直线MN⊄平面CDE，所以MN∥平面CDE.(2)依题意，可得BC＝(－1,0,0)，BE＝(1，－2,2)，CF＝(0，－1,2)．设n＝(x，y，z)为平面BCE的法向量，则即不妨令z＝1，可得n＝(0,1,1)．设m＝(x，y，z)为平面BCF的法向量，则即不妨令z＝1，可得m＝(0,2,1)．因此有cos〈m，n〉＝＝，于是sin〈m，n〉＝.所以，二面角EBCF的正弦值为.(3)设线段DP的长为h(h∈[0,2])，则点P的坐标为(0,0，h)，可得BP＝(－1，－2，h)．易知，DC＝(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量，故|cos〈BP，DC〉|＝＝，由题意，可得＝sin60°＝，解得h＝∈[0,2]．所以，线段DP的长为.4.如图，底面为正方形的四棱锥EABCD中，BE⊥平面ABCD，点F，G分别在棱AB，EC上，且满足AF＝2FB，CE＝3CG.(1)求证：FG∥平面ADE；(2)若BE＝AB，求二面角FEGB的正弦值．解析：(1)证明：在棱BE上取点H，使得EH＝2HB，连接FH，GH(图略)，因为AF＝2FB，EH＝2HB，所以FH∥AE.同理可证GH∥BC.3又FH⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，所以FH∥平面ADE.因为BC∥AD，所以GH∥AD.又GH⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，所以GH∥平面ADE.因为FH∩GH＝H，所以平面FGH∥平面ADE.因为FG⊂平面FGH，所以FG∥平面ADE.(2)依题意，以B为坐标原点，BA，BE，BC的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，设AB＝3，则F(1,0,0)，E(0,3,0)，G(0,1,2)，所以FE＝(－1,3,0)，FG＝(－1,1,2)．设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝3，则n＝(3,1,1)为平面EFG的一个法向量．又平面EGB的法向量，即平面ECB的法向量，则BA＝(3,0,0)为平面EGB的一个法向量，所以cos〈n，BA〉＝＝＝，又二面角FEGB为锐角，所以二面角FEGB的余弦值为，所以二面角FEGB的正弦值为＝.4
