椭圆及其标准方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.椭圆+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为()A.5B.6C.7D.8【解析】选D.因为a=5,点P到一个焦点的距离为2,所以点P到另一个焦点的距离为2×5-2=8.2.(2015·珠海高二检测)椭圆+=1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的()A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍【解析】选A.不妨设F1(-3,0),F2(3,0),由条件知P,即|PF2|=,由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=4,|PF1|=,|PF2|=,即|PF1|=7|PF2|.3.已知椭圆过点P和点Q,则此椭圆的标准方程是()A.+x2=1B.+y2=1或x2+=1C.+y2=1D.以上都不对【解析】选A.设椭圆方程为:Ax2+By2=1(A>0,B>0),由题意得解得4.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是()A.(0,+∞)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)【解析】选D.先将方程x2+ky2=2变形为+=1.1要使方程表示焦点在y轴上的椭圆,需>2,即00).且焦距为6,则实数m的值为__________.【解析】若椭圆的焦点在x轴上,则a2=25,b2=m2,因为a2=b2+c2,即25=m2+9,所以m2=16,因为m>0,所以m=4.若椭圆的焦点在y轴上,则a2=m2,b2=25,由a2=b2+c2,所以m2=25+9,所以m2=34,因为m>0,所以m=.2综上可得m=4或m=.答案:m=4或m=【误区警示】忽视焦点位置,导致丢解椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程中x2和y2项分母的大小,如果x2项的分母大于y2项的分母,则椭圆的焦点在x轴上;反之,焦点在y轴上.由于本题中x2和y2项分母的大小不确定,因此需要进行分类讨论.【补偿训练】椭圆+=1的焦距等于2,则m的值是________.【解析】当焦点在x轴上时,m-15=1,m=16;当焦点在y轴上时,15-m=1,m=14.答案:16或147.(2015·双鸭山高二检测)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且⊥,若△PF1F2的面积为9,则b=__________.【解析】因为⊥,所以PF1⊥PF2,因此|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.即(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2,所以(2a)2-2|PF1|·|PF2|=(2c)2,因此|PF1|·|PF2|=2b2.由=|PF1|·|PF2|=b2=9,所以b=3.答案:38.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则=____________.【解题指南】利用正弦定理求解.【解析】由题意知,A,C为椭圆的两焦点,则|AC|=8,|AB|+|BC|=10.3所以,===.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)椭圆上一点P(3,2)到两焦点的距离之和为8.(2)椭圆两焦点间的距离为16,且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15.【解析】(1)①若焦点在x轴上,可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).由题意知2a=8,所以a=4,又点P(3,2)在椭圆上,所以+=1,得b2=.所以椭圆的标准方程为+=1.②若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为:+=1(a>b>0),因为2a=8,所以a=4.又点P(3,2)在椭圆上,所以+=1,得b2=12.所以椭圆的标准方程为+=1.由①②知椭圆的标准方程为+=1或+=1.(2)由题意知,2c=16,2a=9+15=24,所以a=12,c=8,所以b2=80.又焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,所以所求方程为4+=1或+=1.10.已知圆B:(x+1)2+y2=16及点A(1,0),C为圆B上任意一点,求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程.【解题指南】利用椭圆定义先判断P的轨迹是椭圆.【解析】如图所示,连接AP,因为l垂直平分AC,所以|AP|=|CP|,所以|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4.所以P点的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.因为2a=4,2c...