课时跟踪检测(三十八)有关数列的4大难点问题突破1．(2019·深圳模拟)设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列(n∈N*)的前n项和是()A.B.C.D.解析：选A f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2，∴f(x)＝x(x＋1)，则＝＝－，用裂项法求和得Sn＝1－＋－＋…＋－＝.2．(2019·柳州模拟)设函数f(x)定义为如下数表，且对任意自然数n均有xn＋1＝f(xn)，若x0＝6，则x2019的值为()x123456…f(x)513264…A．1B．2C．4D．5解析：选D 数列{xn}满足x0＝6，且对任意自然数n均有xn＋1＝f(xn)，∴利用表格可得x1＝f(x0)＝f(6)＝4，x2＝f(x1)＝f(4)＝2，x3＝f(x2)＝f(2)＝1，x4＝f(x3)＝f(1)＝5，x5＝f(x4)＝f(5)＝6，x6＝f(x5)＝f(6)＝4，…，∴xn＋5＝xn，∴x2019＝x403×5＋4＝x4＝5.3．(2019·安徽知名示范高中联考)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是()A．a，b，c成公比为2的等比数列，且a＝B．a，b，c成公比为2的等比数列，且c＝C．a，b，c成公比为的等比数列，且a＝D．a，b，c成公比为的等比数列，且c＝解析：选D由题意可得，a，b，c成公比为的等比数列，b＝a，c＝b，故4c＋2c＋c＝50，解得c＝.故选D.4．已知数列{an}满足an＝若对于任意的n∈N*都有an＞an＋1，则实数λ的取值范围是()A.B.C.D.解析：选B因为an＞an＋1，所以数列{an}是递减数列，所以解得＜λ＜，故选B.5．(2019·南昌模拟)数列an＝，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为()A．－10B．－9C．10D．9解析：选B 数列{an}的通项公式为an＝，且其前n项和为＋＋…＋＝1－＝＝，∴n＝9，∴直线方程为10x＋y＋9＝0.令x＝0，得y＝－9，∴该直线在y轴上的截距为－9.6．(2019·郑州质检)已知数列{an}满足a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且对任意n∈N*都有＋＋…＋＜t，则实数t的取值范围为()A.B.C.D.解析：选D依题意得，当n≥2时，an＝＝＝2n2－(n－1)2＝22n－1，又a1＝21＝22×1－1，因此an＝22n－1，＝＝×n－1，即数列是以为首项，为公比的等比数列，等比数列的前n项和等于＝＜，因此实数t的取值范围是.7．用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3]＝3，[1.2]＝1，[－1.3]＝－2.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a＋an，则＝________.解析：因为a1＝1，an＋1＝a＋an＞1，所以＝＝－，即＝－，所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－∈(0,1)．又＝1－，所以＋＋…＋＝2019－.所以＝2018.答案：20188．数列lg1000，lg(1000·cos60°)，lg(1000·cos260°)，…，lg(1000·cosn－160°)，…的前________项和为最大．解析：依题意知，数列的通项an＝lg(1000·cosn－160°)＝3＋(n－1)lg，公差d＝lg＜0，数列单调递减．因为an＝3＋(n－1)lg＞0时，n≤10，所以数列的前10项均为正，从第11项开始为负，故可知数列前10项的和最大．答案：109．(2019·济宁模拟)若数列{an}满足：只要ap＝aq(p，q∈N*)，必有ap＋1＝aq＋1，那么就称数列{an}具有性质P.已知数列{an}具有性质P，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a5＝2，a6＋a7＋a8＝21，则a2020＝____________.解析：根据题意，数列{an}具有性质P，且a2＝a5＝2，则有a3＝a6＝3，a4＝a7，a5＝a8＝2.由a6＋a7＋a8＝21，可得a3＋a4＋a5＝21，则a4＝21－3－2＝16，进而分析可得a3＝a6＝a9＝…＝a3n＝3，a4＝a7＝a10＝…＝a3n＋1＝16，a5＝a8＝…＝a3n＋2＝2(n≥1)，则a2020＝a3×673＋1＝16.答案：1610．若Sn＝sin＋sin＋…＋sin(n∈N*)，则在S1，S2，…，S2019中，正数的个数是____________．解析：由于sin＞0，sin＞0，…，sin＞0，sin＝0，sin＝－sin＜0，…，sin＝－sin＜0，sin＝0，可得到S1＞0，…，S12＞0，S13＝0，S14＝0， 2019＝14×144＋3，∴S1，S2，...
