第三节等比数列及其前n项和课时作业练1.(2018南通高三调研)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+6a4,则a3的值为.答案√32.(2018江苏苏州高三上学期期中)已知在等比数列{an}中,a3=2,a4a6=16,则a7-a9a3-a5=.答案4解析等比数列中奇数项符号相同,a3>0,则a5>0,a4a6=a52=16,a5=4,则q2=a5a3=2,则a7=8,a9=16,则a7-a9a3-a5=-8-2=4.3.(2017镇江高三期末)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-2,S6=9S3,则a5的值为.答案-32解析设等比数列{an}的公比为q,由S6=9S3可知q≠1,则a1(1-q6)1-q=9a1(1-q3)1-q,解得q=2,则a5=a1q4=-2×24=-32.4.(2018江苏南通中学高三考前冲刺)已知等差数列{an}的公差d=3,Sn是其前n项和.若a1,a2,a9成等比数列,则S5的值为.答案652解析由题意可得a1a9=a22,a1(a1+24)=(a1+3)2,解得a1=12,则S5=5×12+5×42×3=652.5.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20的值为.答案501解析因为{an}是各项均为正数的等比数列,所以a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,a10a11=e5,则lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)=ln(a10a11)10=10lne5=50.6.(2018江苏启东中学高三月考)已知数列{an}是等比数列,若a3a5a7=-8,则1a1a5+4a5a9的最小值为.答案1解析由题意得a3a5a7=a53=-8,a5=-2,所有奇数项都是负数,且a1a9=a52=4,则1a1a5+4a5a9=-12a1-2a9≥2√(-12a1)(-2a9)=1,当且仅当a1=-1,a9=-4时取等号,则1a1a5+4a5a9的最小值为1.7.在递增的等比数列{an}中,已知a1+an=34,a3an-2=64,且前n项和Sn=42,则n=.答案3解析设递增等比数列{an}的公比为q(q>0),a3an-2=a1an=64,a1+an=34,解得a1=2,an=32,由题意知q≠1,则Sn=a1-anq1-q=42,解得q=4,则qn-1=4n-1=ana1=16,解得n=3.8.已知数列{an}为等差数列,首项a1=1,公差d≠0,若ak1,ak2,ak3,…,akn成等比数列,且k1=1,k2=2,k3=5,则数列{kn}的通项为.答案kn=3n-1+12解析由题意得a22=a1·a5,即(1+d)2=1·(1+4d),解得d=2,故an=2n-1,所以akn=2kn-1.又等比数列a1,a2,a5的公比为a2a1=31=3,所以akn=3n-1.根据2kn-1=3n-1可得kn=3n-1+12.9.正项等比数列{an}中,a2=8,16a42=a1a5,则数列{an}的前n项积Tn中的最大值为.2答案512解析设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),则16a42=a1a5=a2a4=8a4,∴a4=12,∴q2=a4a2=116.又q>0,则q=14,∴an=a2qn-2=8×(14)n-2=27-2n,则Tn=a1a2…an=25+3+…+(7-2n)=2n(6-n),当n=3时,n(6-n)取得最大值9,此时Tn最大,即(Tn)max=T3=29=512.10.(2018江苏无锡高三期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,3Sn=an-1(n∈N*).(1)求a1,a2;(2)求证:数列{an}是等比数列;(3)求an和Sn.解析(1)由3S1=a1-1,得3a1=a1-1,即a1=-12.由3S2=a2-1,即3a1+3a2=a2-1,得a2=14.(2)证明:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=13(an-1)-13(an-1-1),得anan-1=-12,所以{an}是首项为-12,公比为-12的等比数列.(3)由(2)可得an=(-12)n,Sn=(-12)×[1-(-12)n]1-(-12)=-13×[1-(-12)n].11.(2018江苏苏州高三期中)已知数列{an}的前n项和是Sn,且满足a1=1,Sn+1=3Sn+1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)在数列{bn}中,b1=3,bn+1-bn=an+1an(n∈N*),若不等式λan+bn≤n2对n∈N*有解,求实数λ的取值范围.3解析(1)因为Sn+1=3Sn+1(n∈N*),所以Sn=3Sn-1+1(n∈N*,n≥2),所以an+1=3an(n∈N*,n≥2).又当n=1时,由S2=3S1+1得a2=3,符合a2=3a1,所以an+1=3an(n∈N*),所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,所以an=3n-1(n∈N*).(2)因为bn+1-bn=an+1an=3(n∈N*),所以{bn}是以3为首项,3为公差的等差数列,所以bn=3+3(n-1)=3n(n∈N*),所以λan+bn≤n2对n∈N*有解,即λ≤n2-3n3n-1对n∈N*有解.设f(n)=n2-3n3n-1(n∈N*).因为f(n+1)-f(n)=(n+1)2-3(n+1)3n-n2-3n3n-1=-2(n2-4n+1)3n,所以当n≥4时,f(n+1)f(n),所以f(1)f(5)>f(6)>…,所以f(n)max=f(4)=427,所以λ≤427.12.(2018江苏南京多校高三段考)已知数列{an}的前n项和为Sn.(1)若对任意的n∈N*,a2n-1,a2n+1,a2n构成公差为4的等差数列,且a1=1,求S2n;(2)若数列{Snan+a}是公比为q(q≠-1)的等比数列,a为常数,求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=1+1a.解析(1)因为a2n-1,a2n+1,a2n构成公差为4的等...
