江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学校高中数学推理与证明2.2.1习题课同步测试苏教版选修2-1一、基础过关1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则下列结论正确的是________．①a≤②ab≥③a2＋b2≥2④a2＋b2≤32．下面四个不等式：①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac；②a(1－a)≤；③＋≥2；④(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.其中恒成立的有________个．3．若实数a，b满足0
b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg()，则P、Q、R的大小关系为________．8．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>2，|β|>2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是________．9．如果a，b都是正数，且a≠b，求证：＋>＋.10．已知a>0，求证：－≥a＋－2.11．已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)·(－1)≥8.12．已知函数f(x)＝x2＋＋alnx(x>0)，对任意两个不相等的正数x1、x2，证明：当a≤0时，>f1()．三、探究与拓展13．已知a，b，c，d∈R，求证：ac＋bd≤.(你能用几种方法证明？)2答案1．③2．33．③4．a>b>c5．EF⊥SCAE⊥平面SBCAE⊥SBAB⊥BC6．充要7．P0，∴＋>＋.方法二用分析法要证＋>＋，只要证＋＋2>a＋b＋2，即要证a3＋b3>a2b＋ab2，只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，即需证a2－ab＋b2>ab，只需证(a－b)2>0，因为a≠b，所以(a－b)2>0恒成立，所以＋>＋成立．10．证明要证－≥a＋－2，只要证＋2≥a＋＋.∵a>0，故只要证2≥2，即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，从而只要证2≥，只要证4≥2，即a2＋≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．11．证明方法一(分析法)要证(－1)(－1)(－1)≥8成立，只需证··≥8成立．因为a＋b＋c＝1，所以只需证··≥8成立，3即证··≥8成立．而··≥··＝8成立．∴(－1)(－1)(－1)≥8成立．方法二(综合法)(－1)(－1)(－1)＝(－1)(－1)(－1)＝··＝≥＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，所以原不等式成立．12．证明由f(x)＝x2＋＋alnx，得＝(x21＋x22)＋(＋)＋(lnx1＋lnx2)＝(x21＋x22)＋＋aln.f()＝()2＋＋aln，∵x1≠x2且都为正数，有(x21＋x22)>[(x21＋x22)＋2x1x2]＝()2.①又(x1＋x2)2＝(x21＋x22)＋2x1x2>4x1x2，∴>.②∵<，∴lnaln.③由①、②、③得>f()．13．证明方法一(用分析法)①当ac＋bd≤0时，显然成立．②当ac＋bd>0时，欲证原不等式成立，只需证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2.即证2abcd≤b2c2＋a2d2.即证0≤(bc－ad)2.因为a，b，c，d∈R，所以上式恒成立．故原不等式成立，综合①②知，命题得证．方法二(用综合法)(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝(a2c2＋2acbd＋b2d2)＋(b2c2－2bcad＋a2d2)＝(ac＋bd)2＋(bc－ad)2≥(ac＋bd)2.4∴≥|ac＋bd|≥ac＋bd.方法三(用比较法)∵(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝(bc－ad)2≥0，∴(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，∴≥|ac＋bd|≥ac＋bd.方法四(用放缩法)为了避免讨论，由ac＋bd≤|ac＋bd|，可以试证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．由方法一知上式成立，从而方法四可行．方法五(构造向量法)设m＝(a，b)，n＝(c，d)，∴m·n＝ac＋bd，|m|＝，|n|＝.∵m·n≤|m|·|n|＝·.故ac＋bd≤.5
