竞赛讲座16－不等式不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。一、不等式证明的基本方法1．比较法比较法可分为差值比较法和商值比较法。（1）差值比较法原理A－B＞0A＞B．【例1】（l）m、n是奇偶性相同的自然数，求证：（am＋bm）（an＋bn）＜2（am+n+bm+n）。（2）证明：··≤。【例2】设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，j1,j2,…,jn是1,2,…,n的任意一个排列，令S=a1+a2+…+an，S0=a1bn+a2bn-1+…+anb1，S1=a1b1+a2b2+…+anbn。求证：S0≤S≤S1。（2）商值比较法原理若>1，且B>0，则A>B。【例3】已知a,b,c>0，求证：a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b。2．分析法【例4】若x,y>0，求证：>。【例5】若a,b,c是△ABC的三边长，求证：a4+b4+c4<2(a2b2+b2c2+c2a2)。3．综合法【例6】若a,b,c>0，求证：abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。【例7】已知△ABC的外接圆半径R=1，S△ABC=，a,b,c是△ABC的三边长，令S=，t=。求证：t>S。4．反证法【例8】已知a3+b3=2，求证：a+b≤2。5．数学归纳法【例9】证明对任意自然数n，。二、不等式证明的若干技巧无论用什么方法来证明不等式，都需要对数学表达式进行适当的变形。这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口。1．变形技巧【例1】若n∈N，S=++···+，求证：n
