课时分层作业(四)绝对值的三角不等式(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．若a，b∈R，则以下命题正确的是()A．|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|B．|a|－|b|<|a－b|<|a|＋|b|C．当且仅当ab>0时，|a＋b|＝|a|＋|b|D．当且仅当ab≤0时，|a－b|＝|a|－|b|[解析]由定理“两个数的和的绝对值小于或等于它们绝对值的和，大于或等于它们绝对值的差”可知选项A正确；在选项A中，以－b代b，可得|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，所以选项B不正确；当且仅当a，b同号或a，b中至少有一个为零，即ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，所以选项C不正确；当ab<0，|a－b|>|a|－|b|，所以选项D不正确．[答案]A2．已知a，b∈R，ab>0，则下列不等式中不正确的是()A．|a＋b|＞a－bB．2≤|a＋b|C．|a＋b|<|a|＋|b|D.≥2[解析]当ab>0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，C错．[答案]C3．以下四个命题：①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；②若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；③若|x|＜2，|y|＞3，则＜；④若AB≠0，则lg≥(lg|A|＋|lg|B|)．其中正确的命题有()A．4个B．3个C．2个D．1个[解析]|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a|＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确；1＞|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|＜|b|＋1，②正确；|y|＞3，∴＜.又 |x|＜2，∴＜，③正确；＝(|A|2＋|B|2＋2|A||B|)≥(2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|，∴2lg≥lg|A||B|，∴lg≥(lg|A|＋lg|B|)，④正确．[答案]A4．已知f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为()A．1B．2C．－4D．－1[解析]因为不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，即－2,3是方程f(x)＝6的两个1根，即|6－a|＋a＝6，|a＋4|＋a＝6，所以|6－a|＝6－a，|a＋4|＝6－a，即|6－a|＝|a＋4|，解得a＝1.[答案]A5．不等式≤1成立的条件是()A．ab≠0B．a2＋b2≠0C．ab≥0D．ab≤0[解析] |a＋b|≤|a|＋|b|，当|a|＋|b|≠0时，≤1(*)．因此(*)成立的条件是a≠0且b≠0，即a2＋b2≠0.[答案]B二、填空题6．若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．[解析] |x＋1|＋|x－2|＝|x＋1|＋|2－x|≥|x＋1＋2－x|＝3，∴3≥a.[答案](－∞，3]7．|x＋1|＋|2－x|的最小值是________．[解析] |x＋1|＋|2－x|≥|(x＋1)＋(2－x)|＝3，当且仅当(x＋1)(2－x)≥0，即－1≤x≤2时，取等号．因此|x＋1|＋|2－x|的最小值为3.[答案]38．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．[解析]|2x－1|＋|x＋2|＝＋≥0＋＝，当且仅当x＝时取等号，因此函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值是.所以a2＋a＋2≤，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，即实数a的取值范围是.[答案]三、解答题9．已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．[解](1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3.当x≤－1时，不等式可化为1－x－x－1≥3，即－2x≥3，其解集为.当－1＜x＜1时，不等式化为1－x＋x＋1≥3，不可能成立，其解集为；当x≥1时，不等式化为x－1＋x＋1≥3，即2x≥3，其解集为.综上所述，f(x)≥3的解集为∪.(2) f(x)＝|x－1|＋|x－a|≥|a－1|，∴要x∈R，f(x)≥2成立，则|a－1|≥2，∴a≤－1或a≥3，即a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．10．已知|x1－2|＜1，|x2－2|＜1.(1)求证：2＜x1＋x2＜6，|x1－x2|＜2.2(2)若f(x)＝x2－x＋1，x1≠x2，求证：|x1－x2|＜|f(x1)－f(x2)|＜5|x1－x2|.[证明](1) |x1－2|＜1，|x2－2|＜1，∴2－1＜x1＜2＋1,2－1＜x2＜2＋1，即1＜x1＜3,1＜x2＜3，∴2＜x1＋x2＜6，|x1－x2|＝|(x1－2)－(x2－2)|≤|x1－2|＋|x2－2|＜1＋1＝2，即|x1－x2|＜2.(2) f(x)＝x2－x＋1，∴|f(x1)－f(x2)|＝|x－x1－x＋x2|＝|(x1－x2)(x1＋x2－1)|＝|x1－x2||x1＋x2－1|.由(1)知2＜x1＋x2＜6，|x1－x2|＞0，∴|x1－x2|＜|x1－x2||x1＋x2－1|＜5|x1－x2|，即|x1－x2|＜|f(x1)－f(x2)|＜5|x1－x2|.[能力提升练]1．“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条...
