一曲线的参数方程课时过关·能力提升基础巩固1方程{x=sinθ,y=cos2θ(θ为参数)所表示的曲线上一个点的坐标是()A.(2,7)B.(13,23)C.(12,12)D.(1,0)解析y=cos2θ=1-2sin2θ,又sinθ=x,所以y=1-2x2(-1≤x≤1).令x¿12,代入得y¿12.答案C2下列方程可以作为x轴的参数方程的是()A.{x=t2+1,y=0(t为参数)B.{x=0,y=3t+1(t为参数)C.{x=1+sinθ,y=0(θ为参数)D.{x=4t+1,y=0(t为参数)解析因为x轴上的点的纵坐标为0,横坐标可以为任意实数,所以选D.答案D3将参数方程{x=2+sin2θ,y=sin2θ(θ为参数)化为普通方程为()A.y=x-2B.y=x+2C.y=x-2(2≤x≤3)D.y=x+2(0≤y≤1)解析转化为普通方程y=x-2,x∈[2,3],y∈[0,1],故选C.答案C4曲线{x=-1+cosθ,y=2+sinθ(θ为参数)的对称中心()1A.在直线y=2x上B.在直线y=-2x上C.在直线y=x-1上D.在直线y=x+1上解析由已知得{cosθ=x+1,sinθ=y-2,消去参数得(x+1)2+(y-2)2=1.所以其对称中心为(-1,2).显然该点在直线y=-2x上.故选B.答案B5由方程x2+y2-4tx-2ty+5t2-4=0(t为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹是()A.一个定点B.一个椭圆C.一条抛物线D.一条直线解析方程x2+y2-4tx-2ty+5t2-4=0可变形为(x-2t)2+(y-t)2=4,所以这组圆的圆心坐标为(2t,t).令{x=2t,y=t⇒x-2y=0.答案D6将参数方程{x=t+1t,y=t2+1t2(t为参数)化为普通方程为.解析由x=t+1t,得x2=t2+1t2+2. y=t2+1t2,∴x2=y+2. t2+1t2≥2,当且仅当t2=1时,取等号.∴y≥2.故普通方程为x2-y=2(y≥2).答案x2-y=2(y≥2)7已知圆的参数方程为{x=2+4cosθ,y=-√3+4sinθ¿≤θ<2π),若圆上一点P对应的参数θ¿4π3,则点P的坐标是.解析当θ¿4π3时,x=2+4cos4π3=0,y=−√3+4sin4π3=−3√3,所以点P的坐标是(0,-3√3¿.答案(0,-3√3¿28在平面直角坐标系中,圆C的参数方程为{x=2cosθ,y=2+2sinθ(θ为参数),则坐标原点到该圆的圆心的距离为.解析由圆C的参数方程知其普通方程为x2+(y-2)2=4,则圆心C的坐标为(0,2).故所求距离为2.答案29曲线{x=1,y=sint+1(t为参数)与圆x2+y2=4的交点坐标为.解析 sint∈[-1,1],∴y∈[0,2].∴方程{x=1,y=sint+1表示的曲线是线段x=1(0≤y≤2).令x=1,由x2+y2=4,得y2=3. 0≤y≤2,∴y¿√3.故所求坐标为(1,√3¿.答案(1,√3¿10已知质点沿以原点为圆心,半径为2的圆做匀角速运动,角速度为π60rad/s,试以时间t为参数,建立质点运动轨迹的参数方程.解如图,在运动开始时,质点位于点A处,此时t=0,设动点M(x,y),其对应的时刻为t,由图可知,{x=2cosθ,y=2sinθ.又θ¿π60t¿s为单位),故所求的参数方程为{x=2cosπ60t,y=2sinπ60t¿,t≥0).能力提升1若P(2,-1)为圆O:{x=1+5cosθ,y=5sinθ¿≤θ<2π)的弦的中点,则该弦所在直线l的方程是()A.x-y-3=0B.x+2y=0C.x+y-1=0D.2x-y-5=0解析因为圆心O(1,0),所以kPO=-1,即kl=1.故直线l的方程为x-y-3=0.3答案A2与普通方程xy=1表示相同曲线的参数方程是()A.{x=t2,y=t-2(t为参数)B.{x=sint,y=1sint(t为参数)C.{x=cost,y=1cost(t为参数)D.{x=tant,y=1tant(t为参数)答案D3(2018·北京石景山区一模)已知圆C的参数方程为{x=cosθ,y=sinθ+2(θ为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1,则直线l截圆C所得的弦长是.解析由直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1,可知其直角坐标方程为y+x=1.由圆C的参数方程为{x=cosθ,y=sinθ+2¿),可知其普通方程为x2+(y-2)2=1,其圆心C(0,2),半径r=1.直线l截圆C所得的弦长为2√1-(|2-1|√2)2=√2.答案√2★4曲线C:{x=cosθ,y=-1+sinθ(θ为参数)的普通方程是.如果曲线C与直线x+y+a=0有公共点,那么实数a的取值范围是.解析因为{x=cosθ,y=-1+sinθ,所以x2+(y+1)2=1.由于圆与直线有公共点,则圆心到直线的距离d¿|0-1+a|√2≤1,解得1−√2≤a≤1+√2.答案x2+(y+1)2=1[1−√2,1+√2¿45已知曲线C的参数方程为{x=√t-1√t,y=3(t+1t)(t为参数,t>0),求曲线C的普通方程.解因为x2=t+1t−2,所以x2+2=t+1t=y3,y=3(t+1t)≥6,当且仅当t=1时取等号.故曲线C的普通方程为3x2-y+6=0(y≥6).6求圆x2+y2=9上的动点P与定点(1,1)之间距离的最小值.解设P(3cosθ,3sinθ),则点P到定点(1,1)的距离为d(θ)¿√(3cosθ-1)2+(3sinθ-1)2=...
