9.5椭圆1.椭圆的概念平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若ab>0)＋＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距F1F2＝2c离心率e＝∈(0,1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2【知识拓展】点P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.(×)(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).(√)(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(×)1(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.(√)(5)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆.(×)(6)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等.(√)1.(教材改编)椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝________.答案4或8解析由题意知或解得m＝4或m＝8.2.(2016·苏州检测)在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F(－1,0)的距离与P到定直线x＝－4的距离的比值为.则动点P的轨迹C的方程为__________.答案＋＝1解析设点P(x，y)，由题意知＝，化简得3x2＋4y2＝12，所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1.3.(2016·全国乙卷改编)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为________.答案解析如图，由题意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝·2b＝b.在Rt△FOB中，OF·OB＝BF·OD，即cb＝a·b，解得a＝2c，故椭圆离心率e＝＝.4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是__________.答案＋＝1解析由题意知c＝1，e＝＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.故所求椭圆方程为＋＝1.5.(教材改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________.答案或解析设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，所以P点坐标为或.题型一椭圆的定义及标准方程命题点1利用定义求轨迹例1(2016·徐州模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹2是________.答案椭圆解析由条件知PM＝PF，∴PO＋PF＝PO＋PM＝OM＝R>OF.∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆.命题点2利用待定系数法求椭圆方程例2(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为___________________________________________.(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为_____________________________________.答案(1)＋y2＝1或＋＝1(2)＋＝1解析(1)若焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a>b>0). 椭圆过P(3,0)，∴＋＝1，即a＝3，又2a＝3×2b，∴b＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a>b>0). 椭圆过点P(3,0)，∴＋＝1，即b＝3.又2a＝3×2b，∴a＝9，∴椭圆方程为＋＝1.∴所求椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n). 椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程.即①②两式联立，解得∴所求椭圆方程为＋＝1.命题点3利用定义解决“焦点三角形”问题例3已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.答案3解析设PF1＝r1，PF2＝r2，则因为2r1r2＝(r1＋r...
