3参数方程和普通方程的互化一、基础达标1.曲线(θ为参数)的方程等价于()A.x＝B.y＝C.y＝±D.x2＋y2＝1解析由x＝|sinθ|得0≤x≤1；由y＝cosθ得－1≤y≤1.故选A.答案A2.已知直线l：(t为参数)与圆C：(θ为参数)，则直线l的倾斜角及圆心C的直角坐标分别是()A.，(1，0)B.，(－1，0)C.，(1，0)D.，(－1，0)解析直线消去参数得直线方程为y＝－x，所以斜率k＝－1即倾斜角为.圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1，0).答案C3.参数方程(t为参数)化为普通方程为()A.x2＋y2＝1B.x2＋y2＝1去掉(0，1)点C.x2＋y2＝1去掉(1，0)点D.x2＋y2＝1去掉(－1，0)点解析x2＋y2＝＋＝1，又 x＝－1时，1－t2＝－(1＋t2)不成立，故去掉点(－1，0).答案D4.若x，y满足x2＋y2＝1，则x＋y的最大值为()A.1B.2C.3D.4解析由于圆x2＋y2＝1的参数方程为(θ为参数)，则x＋y＝sinθ＋cosθ＝2sin，故x＋y的最大值为2.故选B.答案B5.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.解析由ρcosθ＝4，知x＝4.又∴x3＝y2(x≥0).由得或1∴|AB|＝＝16.答案166.在极坐标系中，圆C1的方程为ρ＝4cos，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程(θ为参数)，若圆C1与C2相切，则实数a＝________.解析圆C1的直角坐标方程为x2＋y2＝4x＋4y，其标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8，圆心为(2，2)，半径长为2，圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a|，由于圆C1与圆C2外切，则|C1C2|＝2＋|a|＝3或|C1C2|＝|a|－2＝3⇒a＝±或a＝±5.答案±或±57.已知曲线C的参数方程为(t为参数，t＞0).求曲线C的普通方程.解由x＝－两边平方得x2＝t＋－2，又y＝3，则t＋＝(y≥6).代入x2＝t＋－2，得x2＝－2.∴3x2－y＋6＝0(y≥6).故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0(y≥6).二、能力提升8.已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程为：(θ为参数)，以Ox为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos＝0，则圆C截直线所得弦长为()A.B.2C.3D.4解析圆C的参数方程为的圆心为(，1)，半径为3，直线普通方程为ρ＝x－y＝0，即x－y＝0，圆心C(，1)到直线x－y＝0的距离为d＝＝1，所以圆C截直线所得弦长|AB|＝2＝2＝4.答案D9.过原点作倾斜角为θ的直线与圆相切，则θ＝________.解析直线为y＝xtanθ，圆为(x－4)2＋y2＝4，直线与圆相切时，易知tanθ＝±，∴θ＝或.答案或10.在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.解析曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2的普通方程为＋＝1，直线2x＋y＝3与x轴2的交点坐标为，故曲线＋＝1也经过这个点，代入解得a＝(舍去－).答案11.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2，0)，，圆C的参数方程为(θ为参数).(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2)判断直线l与圆C的位置关系.解(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2，0)，.又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为，故直线OP的平面直角坐标方程为y＝x.(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2，0)，，所以直线l的平面直角坐标方程为x＋y－2＝0.又圆C的圆心坐标为(2，－)，半径为r＝2，圆心到直线l的距离d＝＝＜r，故直线l与圆C相交.12.已知曲线C1：(θ为参数)，曲线C2：(t为参数).(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C′1，C′2.写出C′1，C′2的参数方程.C′1与C′2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由.解(1)C1是圆，C2是直线.C1的普通方程为x2＋y2＝1，圆心C1(0，0)，半径r＝1.C2的普通方程为x－y＋＝0.因为圆心C1到直线x－y＋＝0的距离为1，所以C2与C1只有一个公共点.(2)压缩后的参数方程分别为C′1：(θ为参数)，C′2：(t为参数)，化为普通方程为C′1：x2＋4y2＝1，C′2：y＝x＋，联立消元得2x2＋2x＋1＝0，其判别式Δ＝(2)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C′2与椭...
