1.4全称量词与存在量词课后篇巩固提升基础巩固1.下列命题中,是真命题且是全称命题的是()A.对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0B.菱形的两条对角线相等C.∃x∈R,√x2=xD.对数函数在定义域上是单调函数解析A中含有全称量词“任意的”,是全称命题,但因为a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0;故是假命题.B,D在叙述上没有全称量词,但实际上是指“所有的”,所以B,D是全称命题.菱形的对角线不一定相等,所以B是假命题,C虽然是真命题,但是特称命题,故选D.答案D2.命题:“∀x∈R,3x>0”的否定形式是()A.∃x0∈R,3x0≤0B.∃x0∈R,3x0<0C.∀x∈R,3x≤0D.∀x∈R,3x<0解析命题:“∀x∈R,3x>0”的否定形式是“∃x0∈R,3x0≤0”.答案A3.下列四个命题,真命题的个数是()①若x∈R,则x+1x≥2②ac2>bc2的充分不必要条件是a>b③命题“∃n∈N,n2>2n”的否定为“∀n∈N,n2≤2n”A.0B.1C.2D.3解析对于①,当x>0时,x+1x≥2,x=0时,x+1x无意义,1x<0时,x+1x≤-2,∴①错误;对于②,当a>b时,不能得出ac2>bc2,即充分性不成立,当ac2>bc2时,能得出a>b,即必要性成立,所以a>b是ac2>bc2的必要不充分条件,②错误;对于③,命题“∃n0∈N,n02>2n0”的否定为“∀n∈N,n2≤2n”,③正确.综上,正确的命题序号是③.故选B.答案B4.已知命题p:∀x>0,x+4x≥4;命题q:∃x0∈(0,+∞),2x0=12,则下列判断正确的是()A.p是假命题B.q是真命题C.p∧(q)是真命题D.(p)∧q是真命题解析由均值不等式知,命题p为真命题,而对任意x∈(0,+∞),都有2x>1,所以不存在x0∈(0,+∞),使得2x0=12,即命题q为假命题,故p∧(q)是真命题.答案C5.已知命题p:∀x>3,x>m成立,则实数m的取值范围是()A.m≤3B.m≥3C.m<3D.m>3解析对任意x>3,x>m恒成立,即大于3的数恒大于m,所以m≤3.答案A6.命题“∃x0∈R,1≤f(x0)<3”的否定形式是.解析根据特称命题的否定是全称命题,得命题“∃x0∈R,1≤f(x0)<3”的否定形式是“∀x∈R,f(x)<1或f(x)≥3”.答案∀x∈R,f(x)<1或f(x)≥37.下列特称命题是真命题的序号是.2①有些不相似的三角形面积相等;②存在一实数x0,使x02+x0+1<0;③存在实数a,使函数y=ax+b的值随x的增大而增大;④有一个实数的倒数是它本身.解析①为真命题,只要找出等底等高的两个三角形,面积就相等,但不一定相似;②中对任意x∈R,x2+x+1=(x+12)2+34>0,所以不存在实数x0,使x02+x0+1<0,故②为假命题;③中当实数a大于0时,结论成立,为真命题;④中如1的倒数是它本身,为真命题,故填①③④.答案①③④8.命题“∀x∈R,x2-2ax+1>0”是假命题,则实数a的取值范围是.解析由题意,命题“∀x∈R,x2-2ax+1>0”是假命题,可得出二次函数与x轴有交点,又由二次函数的性质,可得Δ≥0,即4a2-4≥0,解得a≤-1或a≥1.答案(-∞,-1]∪[1,+∞)9.用量词符号“∀”“∃”表述下列命题,并判断真假.(1)所有实数x都能使x2+x+1>0成立;(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解;(3)一定有整数x0,y0,使得3x0-2y0=10成立;(4)所有的有理数x都能使13x2+12x+1是有理数.解(1)∀x∈R,x2+x+1>0,真命题.(2)∀a,b∈R,ax+b=0恰有一个解,假命题.(3)∃x0,y0∈Z,3x0-2y0=10,真命题.(4)∀x∈Q,13x2+12x+1是有理数,真命题.10.写出下列命题的否定并判断真假:(1)不论m取何实数,关于x的方程x2+x-m=0必有实数根;(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除;(3)某些梯形的对角线互相平分;(4)被8整除的数能被4整除.3解(1)这一命题可以表述为p:“对所有的实数m,关于x的方程x2+x-m=0都有实数根”,其否定是:“存在实数m,使得关于x的方程x2+x-m=0没有实数根”,注意到当Δ=1+4m<0,即m<-14时,一元二次方程没有实根,因此p是真命题.(2)命题的否定是:存在末位数字是0或5的整数不能被5整除,是假命题.(3)命题的否定:任意一个梯形的对角线都不互相平分,是真命题.(4)命题的否定:存在一个数能被8整除,但不能被4整除,是假命题.能力提升1.命题“∀x∈R,∃n0∈N*,使得n0≥2x+1”的否定形式是()A.∀x∈R,∃n0∈N*,使得n0<2x+1B.∀x∈R,∀n0∈N*,使得n0<2x+1C.∃x0∈R,∃n∈N*,使得n<2x0+1D.∃x0∈R,∀n∈N*,使得n<2x0+1解析由题意可知,全称命题“∀x∈R,∃n0∈N*,使得n0≥2x+1”的否定形式为特称命题“∃x0∈R,∀n∈N*,使得n<2x0+1”,故选D.答案D2.已知命题p:∀x∈...
