第3课时导数在不等式中的应用考点一构造函数证明不等式【例1】已知函数f(x)＝1－，g(x)＝x－lnx.(1)证明：g(x)≥1；(2)证明：(x－lnx)f(x)>1－.证明(1)由题意得g′(x)＝(x>0)，当01时，g′(x)>0，即g(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.所以g(x)≥g(1)＝1，得证.(2)由f(x)＝1－，得f′(x)＝，所以当02时，f′(x)>0，即f(x)在(0，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，所以f(x)≥f(2)＝1－(当且仅当x＝2时取等号).①又由(1)知x－lnx≥1(当且仅当x＝1时取等号)，②且①②等号不同时取得，所以(x－lnx)f(x)>1－.规律方法1.证明不等式的基本方法：(1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①∀x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)，②∀x1，x2∈[a，b]，且x1g(x)max，则f(x)>g(x)”证明不等式【例2】已知函数f(x)＝xlnx－ax.(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值；(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1>－成立.(1)解函数f(x)＝xlnx－ax的定义域为(0，＋∞).当a＝－1时，f(x)＝xlnx＋x，f′(x)＝lnx＋2.由f′(x)＝0，得x＝.当x∈时，f′(x)<0；当x>时，f′(x)>0.所以f(x)在上单调递减，在上单调递增.因此f(x)在x＝处取得最小值，即f(x)min＝f＝－，但f(x)在(0，＋∞)上无最大值.(2)证明当x>0时，lnx＋1>－等价于x(lnx＋1)>－.由(1)知a＝－1时，f(x)＝xlnx＋x的最小值是－，当且仅当x＝时取等号.设G(x)＝－，x∈(0，＋∞)，则G′(x)＝，易知G(x)max＝G(1)＝－，当且仅当x＝1时取到，从而可知对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)>G(x)，即lnx＋1>－.规律方法1.在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可考虑转化为两个函数的最值问题.2.在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立.从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”.【训练2】已知三次函数f(x)的导函数f′(x)＝－3x2＋3且f(0)＝－1，g(x)＝xlnx＋(a≥1).(1)求f(x)的极值；(2)求证：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有f(x1)≤g(x2).(1)解依题意得f(x)＝－x3＋3x－1，f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)，知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是减函数，在(－1，1)上是增函数，所以f(x)极小值＝f(－1)＝－3，f(x)极大值＝f(1)＝1.(2)证明易得x>0时，f(x)最大值＝1，由a≥1知，g(x)≥xlnx＋(x>0)，令h(x)＝xlnx＋(x>0)，则h′(x)＝lnx＋1－＝lnx＋，注意到h′(1)＝0，当x>1时，h′(x)>0；当0
