第3课时导数在不等式中的应用考点一构造函数证明不等式【例1】已知函数f(x)＝1－，g(x)＝x－lnx
(1)证明：g(x)≥1；(2)证明：(x－lnx)f(x)>1－
证明(1)由题意得g′(x)＝(x>0)，当00时，lnx＋1>－等价于x(lnx＋1)>－
由(1)知a＝－1时，f(x)＝xlnx＋x的最小值是－，当且仅当x＝时取等号
设G(x)＝－，x∈(0，＋∞)，则G′(x)＝，易知G(x)max＝G(1)＝－，当且仅当x＝1时取到，从而可知对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)>G(x)，即lnx＋1>－
在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可考虑转化为两个函数的最值问题
在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立
从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”
【训练2】已知三次函数f(x)的导函数f′(x)＝－3x2＋3且f(0)＝－1，g(x)＝xlnx＋(a≥1)
(1)求f(x)的极值；(2)求证：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有f(x1)≤g(x2)
(1)解依题意得f(x)＝－x3＋3x－1，f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)，知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是减函数，在(－1，1)上是增函数，所以f(x)极小值＝f(－1)＝－3，f(x)极大值＝f(1)＝1
(2)证明易得x>0时，f(x)最大值＝1，由a≥1知，g(x)≥xlnx＋(x>0)，令h(x)＝xlnx＋(x>0)，则h′(x)＝lnx＋1－＝lnx＋，注意到h′(1)＝0，当x>1时，h′(x)>0；当0
