山东省烟台市芝罘区高三数学专题复习 解析几何(2)直线与圆锥曲线(椭圆为例)位置关系试卷VIP免费

烟台芝罘区数学直线与圆锥曲线（椭圆为例）位置关系2016高三专题复习-解析几何专题（2）【复习要点】直线与圆锥曲线问题常用知识点1、两条直线垂直：则；直线所在的向量平行：斜率相等，截距不等。2、韦达定理：若一元二次方程有两个不同的根，则。3、中点坐标公式：点的中点坐标M（x,y）其中（，）。4、弦长公式：若点在直线上，则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，或者。【题型解析】直线和椭圆（圆锥曲线）常考题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线与椭圆始终有交点，求的取值范围解：数形结合，直线恒过（0,1）点，即此点在椭圆内即可。。题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线与曲线N：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线，，，。由消y整理，得①由直线和抛物线交于两点，得即②由韦达定理，得：。则线段AB的中点为。线段的垂直平分线方程为：令y=0,得，则为正三角形，到直线AB的距离d为。解得满足②式，此时。题型三：动弦过定点的问题例题3、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论解：（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。从而椭圆的方程为（II）设，，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得是方程的两个根，则，，即点M的坐标为，同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为，直线MN的方程为：，令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：又，椭圆的焦点为，即故当时，MN过椭圆的焦点。题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A、B、C是椭圆E：上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。解：(I)，且BC过椭圆的中心O又点C的坐标为。A是椭圆的右顶点，，则椭圆方程为：将点C代入方程，得，椭圆E的方程为(II)直线PC与QC关于直线对称，设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为：，即，由消y，整理得：是方程的一个根，即同理可得：＝＝＝则直线PQ的斜率为定值。题型五：面积问题例题5、已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为。（Ⅱ）设，。（1）当轴时，。（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为。由已知，得。把代入椭圆方程，整理得，，。当且仅当，即时等号成立。当时，，综上所述。当最大时，面积取最大值。问题六：范围问题（本质是函数问题）例6、设、分别是椭圆的左、右焦点。（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。解：（Ⅰ）易知所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：∴由得：或又∴ ，即∴故或题型七、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）例7、设椭圆E:22221xyab（a,b>0）过M（2，2），N(6,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB�？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E:22221xyab（a,b>0）过M（2，2），N(6,1)两点,所以2222421611abab解得22118114ab所以2284ab椭圆E的方程为22184xy（2）假设存...