第21练圆锥曲线的定义、方程与性质[明晰考情]1.命题角度：圆锥曲线的定义、方程与几何性质是高考考查的热点.2.题目难度：中等偏难.考点一圆锥曲线的定义及标准方程方法技巧(1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件.(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化.(3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.1.已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是________.答案y2－＝1(y≤－1)解析由两点间距离公式，可得AC＝13，BC＝15，AB＝14，因为A，B都在椭圆上，所以AF＋AC＝BF＋BC，AF－BF＝BC－AC＝2<14，故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支.由c＝7，a＝1，得b2＝48，所以F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1).2.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则该双曲线的方程为________.答案－＝1解析由e＝知a＝b，且c＝a.∴双曲线渐近线方程为y＝±x.又kPF＝＝＝1，∴c＝4，则a2＝b2＝＝8.故双曲线方程为－＝1.3.已知抛物线y＝x2，A，B是该抛物线上两点，且AB＝24，则线段AB的中点P离x轴最近时点P的纵坐标为________.答案8解析由题意得抛物线的标准方程为x2＝16y，焦点F(0,4)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB≤AF＋BF＝(y1＋4)＋(y2＋4)＝y1＋y2＋8，∴y1＋y2≥16，则线段AB的中点P的纵坐标y＝≥8，∴线段AB的中点P离x轴最近时点P的纵坐标为8.4.(2018·如皋调研)已知椭圆C：＋＝1的右顶点为A，点M(2,4)，过椭圆C上任意一点P作直线MA的垂线，垂足为H，则2PM＋PH的最小值为________.1答案2－2解析在椭圆中，a＝2，c＝1，所以椭圆的右焦点为F(1，0)，右准线方程为x＝4.过点P作右准线的垂线，设垂足为G，则PH＝PG－2，由椭圆的第二定义得e＝＝，所以PG＝2PF.因此2PM＋PH＝2PM＋2PF－2＝2(PM＋PF)－2≥2MF－2＝2－2，当且仅当M，P，F三点共线时等号成立，所以2PM＋PH的最小值为2－2.考点二圆锥曲线的几何性质方法技巧(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式.(2)要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5.(2018·全国Ⅱ改编)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为________.答案y＝±x解析双曲线－＝1的渐近线方程为bx±ay＝0.又 离心率＝＝，∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a(a＞0，b＞0).∴渐近线方程为ax±ay＝0，即y＝±x.6.若双曲线－＝1(a>0，b>0)上存在点M，使得右焦点F关于直线OM(O为双曲线的中心)的对称点在y轴上，则该双曲线的离心率的取值范围是______.答案(，＋∞)解析若存在点M，使得右焦点F关于直线OM(O为双曲线的中心)的对称点在y轴上，则只要这个双曲线上存在点M，使得OM的斜率的绝对值为1即可，所以只要渐近线的斜率的绝对值大于1，也就是离心率大于.7.(2018·全国Ⅲ改编)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若PF1＝OP，则C的离心率为________.答案解析如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P′，连结P′F2，由题意可知，四边形PF1P′F2为平行四边形，且△PP′F2是直角三角形.因为F2P＝b，F2O＝c，所以OP＝a.又PF1＝a＝F2P′，PP′＝2a，所以F2P＝a＝b，所以c＝＝a，所以e＝＝.8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若AF＋BF＝4OF，则该双曲线的渐近线方程为________.2答案y＝±x解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， y1,2＝，∴y1＋y2＝.又 AF＋BF＝4OF，∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，∴＝p，即＝，∴＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.考点三圆锥曲线的综合问题方法技巧(1)圆锥曲线范围、最值问题的常用方法定义性质转化法；目标函数法；条件不等式法.(2)圆锥曲线中的定值、定点问题可以利用特例法寻求突破，然后对一般情况进行证明.9.已知方程－＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是________.答...
