课时作业(七)椭圆的定义及其标准方程A组基础巩固1．椭圆＋＝1的焦点坐标为()A．(－4,0)和(4,0)B．(0，－)和(0，)C．(－3,0)和(3,0)D．(0，－9)和(0,9)解析：由已知椭圆的焦点在x轴上，且a2＝16，b2＝7，∴c2＝9，c＝3.∴椭圆的焦点坐标为(－3,0)和(3,0)．答案：C2．设F1、F2是椭圆＋＝1的焦点，P是椭圆上的点，则△PF1F2的周长是()A．16B．18C．20D．不确定解析：由方程＋＝1知a＝5，b＝3，∴c＝4，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，|F1F2|＝2c＝8，∴△PF1F2的周长为18.故选B.答案：B3．“m＞n＞0”是方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：将方程mx2＋ny2＝1转化为＋＝1，要使焦点在y轴上必须满足＞＞0，即m＞n＞0，反之亦成立，故选C.答案：C4．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P和Q，则此椭圆的方程是()A.＋x2＝1B.＋y2＝1C.＋y2＝1或x2＋＝1D．以上都不对解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，则解得∴椭圆方程为x2＋＝1.故选A.答案：A5．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为()A．±B．±C．±D．±解析：如图，当P在x轴上方时，OM为△PF1F2的中位线，所以P，所以M.同理，P在x轴下方时M，故选D.答案：D6．已知椭圆的方程为＋＝1(a＞5)，它的两个焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝8，弦AB过F1，则△ABF2的周长为()A．10B．20C．2D．41解析：由已知得a2＝25＋16＝41，∴△ABF2的周长是4a＝4.答案：D7．以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程为__________．解析：9x2＋5y2＝45化为标准方程形式为＋＝1，焦点为(0，±2)，∴c＝2，设所求方程为＋＝1，代入(2，)，解得a2＝12.∴方程为＋＝1.答案：＋＝18．已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.解析：由题意，得解得a2－c2＝9，即b2＝9，所以b＝3.答案：39．已知椭圆＋＝1的上、下两个焦点分别为F1，F2，点P为该椭圆上一点，若|PF1|，|PF2|为方程x2＋2mx＋5＝0的两根，则m＝________.解析：由已知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.又 |PF1|，|PF2|为方程x2＋2mx＋5＝0的两根，∴|PF1|＋|PF2|＝－2m，∴m＝－3.经检验，m＝－3满足题意．答案：－310．设F1、F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，当a＝2b时，点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，求椭圆方程．解： a＝2b，b2＋c2＝a2，∴c2＝3b2.又PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝12b2.由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4b，(|PF1|＋|PF2|)2＝12b2＋4＝16b2，∴b2＝1，a2＝4.∴椭圆方程为＋y2＝1.B组能力提升11．已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是()A．圆B．椭圆C．抛物线D．无法确定解析：由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a(a为大于零的常数，且2a＞|F1F2|)，|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a，即|F1Q|＝2a.∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．答案：A12．已知椭圆＋＝1上一点M到左焦点F1的距离为6，N是MF1的中点，则|ON|＝________.解析：设右焦点为F2，连接F2M， O为F1F2的中点，N是MF1的中点，∴|ON|＝|MF2|.又 |MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝6，∴|MF2|＝4，∴|ON|＝2.答案：213．在直线l：x－y＋9＝0上取一点P，过点P以椭圆＋＝1的焦点为焦点作椭圆．2(1)P点在何处时，所求椭圆长轴最短；(2)求长轴最短时的椭圆方程．解：(1)由题意知椭圆两焦点坐标分别为F1(－3,0)、F2(3,0)．设点F1(－3,0)关于直线l的对称点F′1的坐标为(x0，y0)，则解之得∴F′1(－9,6)．则过F′1和F2的直线方程为＝，整理得x＋2y－3＝0联立解之得即P点坐标为(－5,4)(2)由(1)知2a＝|F′1F|＝，∴a2＝45. c＝3，∴b2＝a2－c2＝36.∴所求椭圆的方程为＋＝1.14．已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点．(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积；(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．解：(1)如图，由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，且F1(－，0)，F...
